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Inneres vom Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 Di 12.11.2013
Autor: rainman_do

Aufgabe
Sei $E$ ein topologischer Vektorraum und $F$ ein echter Unterraum von $E$, also [mm] $F\ne [/mm] E$. Zeigen Sie, dass [mm] $F^o=\emptyset$ ($F^o$ [/mm] soll das Innere von $F$ sein).

Hallo Zusammen,

ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe, obwohl es mir nicht so schwer erscheint. Also hier mal mein Ansatz:

Angenommen, [mm] $F^{o}\ne \emptyset$. [/mm] Dann gibt es einen Punkt [mm] $x\in F^o$ [/mm] und eine (offene?) Umgebung $U [mm] \subseteq F^o$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] U$.

Jetzt weiß ich aber nicht weiter...Ich würde gern zeigen, dass es dann Vektoren in dieser Umgebung gibt, die aber nicht in [mm] $F^o$ [/mm] liegen...so war jedenfalls meine Idee, aber irgendwie weiß ich nicht weiter...

Vielen Dank schon mal im Voraus!

        
Bezug
Inneres vom Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:29 Di 12.11.2013
Autor: fred97


> Sei [mm]E[/mm] ein topologischer Vektorraum und [mm]F[/mm] ein echter
> Unterraum von [mm]E[/mm], also [mm]F\ne E[/mm]. Zeigen Sie, dass
> [mm]F^o=\emptyset[/mm] ([mm]F^o[/mm] soll das Innere von [mm]F[/mm] sein).
>  Hallo Zusammen,
>  
> ich habe ein paar Probleme mit dieser Aufgabe, obwohl es
> mir nicht so schwer erscheint. Also hier mal mein Ansatz:
>  
> Angenommen, [mm]F^{o}\ne \emptyset[/mm]. Dann gibt es einen Punkt
> [mm]x\in F^o[/mm] und eine (offene?) Umgebung [mm]U \subseteq F^o[/mm] mit
> [mm]x\in U[/mm].
>
> Jetzt weiß ich aber nicht weiter...Ich würde gern zeigen,
> dass es dann Vektoren in dieser Umgebung gibt, die aber
> nicht in [mm]F^o[/mm] liegen...so war jedenfalls meine Idee, aber
> irgendwie weiß ich nicht weiter...
>  
> Vielen Dank schon mal im Voraus!


Deine Idee ist nicht schlecht.

Annahme: F enthält einen inneren Punkt [mm] x_0. [/mm]

Du kannst [mm] x_0 [/mm] =0 annehmen (warum ?)

Dann gibt es also eine Nullumgebung U mit U [mm] \subseteq [/mm] F.

U ist absorbierend, d.h.: ist x [mm] \in [/mm] E, so gibt es ein r>0 mit: $x [mm] \in [/mm] s*U$  für alle s mit |s| [mm] \ge [/mm] r.

Zeige damit: ist x [mm] \in [/mm] E, so ist x [mm] \in [/mm] F.

Damit hast Du einen Widerspruch.

FRED

Bezug
                
Bezug
Inneres vom Unterraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:27 Di 12.11.2013
Autor: rainman_do

Hallo und vielen Dank für die Antwort. Genau so hatte ich mir das irgendwie vorgestellt, hat aber irgendwie im Kopf nicht so zusammengepasst :-)

Also mal schauen, ob ich dich richtig verstanden habe:

...bla bla...$0$ ist in [mm] $F^o$ [/mm] weil $F$ Unterraum...bla bla.. Dann gibt es eine Nullumgebung $U$, die absorbierend ist, weil $U$ Nullumgebung. Dann gilt für alle [mm] $x\in [/mm] E$, dass ein [mm] $r\geq [/mm] 0$ existiert, mit [mm] $x\in s\cdot [/mm] U$ für alle $s [mm] \geq [/mm] r$ daraus folgt also [mm] $x\in s\cdot [/mm] U [mm] \subseteq s\cdot [/mm] F$ und das ist gleich $F$ weil $F$ als Unterraum abgeschlossen gegenüber skalarer Multiplikation ist. Also wäre $F=E$ und das ist mein Widerspruch. Ok so?

Danke schon mal!

Bezug
                        
Bezug
Inneres vom Unterraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Di 12.11.2013
Autor: fred97


> Hallo und vielen Dank für die Antwort. Genau so hatte ich
> mir das irgendwie vorgestellt, hat aber irgendwie im Kopf
> nicht so zusammengepasst :-)
>  
> Also mal schauen, ob ich dich richtig verstanden habe:
>  
> ...bla bla...[mm]0[/mm] ist in [mm]F^o[/mm] weil [mm]F[/mm] Unterraum..

nein. Wir hatten angenommen, dass F einen inneren Punkt [mm] x_0 [/mm] hat, also [mm] x_0 \in F^o. [/mm]

Dann können wir [mm] x_0=0 [/mm] annehmen.


> .bla bla.. Dann
> gibt es eine Nullumgebung [mm]U[/mm], die absorbierend ist, weil [mm]U[/mm]
> Nullumgebung.

???   Weil 0 innerer Punkt von F ist, gibt es eine Nullumgebung U mit U [mm] \subseteq [/mm] F.




>  Dann gilt für alle [mm]x\in E[/mm], dass ein [mm]r\geq 0[/mm]
> existiert, mit [mm]x\in s\cdot U[/mm] für alle [mm]s \geq r[/mm] daraus
> folgt also [mm]x\in s\cdot U \subseteq s\cdot F[/mm] und das ist
> gleich [mm]F[/mm] weil [mm]F[/mm] als Unterraum abgeschlossen gegenüber
> skalarer Multiplikation ist. Also wäre [mm]F=E[/mm] und das ist
> mein Widerspruch. Ok so?

Nicht ganz: Sei x [mm] \in [/mm] E. Weil U absorbierend ist, gibt es ein r>0 mit:

   $x [mm] \in [/mm] s*U$  für alle s mit |s| [mm] \ge [/mm] r.

Dann ist

    $x [mm] \in [/mm] r*U [mm] \subseteq [/mm] r*F=F$

FRED

>  
> Danke schon mal!


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