Integr. unend., Fkt. endl. f ü < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geben Sie eine nichtnegative Borel-messbare Funktion [mm] f:[0,1]->\bar{\mathbb{R}}_+ [/mm] mit den folgenden Eigenschaften an:
[mm] f(x)<\infty [/mm] fast überall
Für jedes Intervall [mm] [a,b]\subseteq [/mm] [0,1] gilt: [mm] \int_{[a,b]}f(x)d\mu(x)=\infty, [/mm] wobei [mm] \mu [/mm] das Lebesgue-Maß bezeichnet. |
Liebe Forenmitglieder,
ich habe Probleme mit der obigen Aufgabe. Habe bereits versucht, eine Funktion zu konstruieren, die auf den "verrücktesten" Nullmengen, die ich kenne (das sind [mm] \mathbb{Q} [/mm] und die Cantor-Menge, [mm] \infty [/mm] annimmt, es gelingt mir aber nicht, so eine Funktion zu konstruieren. Es liegt vielleicht daran, dass ich mir nicht vorstellen kann, wie soetwas funktionieren soll: Wie kann eine Funktion, die nur auf einer Nullmenge unendlich sein darf, unendliches Integral auf jedem Intervall haben?
Ich denke, dass eine dichte Teilmenge von [0,1], wie [mm] \mathbb{Q}\cap[0,1] [/mm] hier eine Rolle spielt, dass die Funktion auf dieser "verrückte" Werte annehmen muss, habe aber keine Idee, wie sie aussehen könnte.
Daher hoffe ich auf eure Hilfe.
Danke und liebe Grüße
Herr_von_Omikron
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Hiho,
deine Gedanken gehen in eine völig falsche Richtung.
Wenn du die Funktion nur auf einer Nullmenge abänderst, ändert sich mal gar nichts am Wert des Integrals.
Das wird also nicht zielführend sein!
Gruß,
Gono.
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Hmm, stimmt natürlich, hast du/jemand anders dann einen anderen Gedankenanstoß?
Kann mir nämlich überhaupt nicht vorstellen, wie das Integral auf jedem Teilintervall unendlich werden kann...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Di 23.09.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
also ich habe eine grobe Vorstellung, wie das aussehen könnte/müsste, bekomm das aber nicht wirklich hin und stolpere immer wieder über die Eigenschaft "auf jedem Intervall".
Daher kannst du gerne mal die Lösung hier angeben, wenn du sie weißt.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:43 Di 23.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie eine nichtnegative Borel-messbare Funktion
> [mm]f:[0,1]->\bar{\mathbb{R}}_+[/mm] mit den folgenden Eigenschaften
> an:
> [mm]f(x)<\infty[/mm] fast überall
> Für jedes Intervall [mm][a,b]\subseteq[/mm] [0,1] gilt:
> [mm]\int_{[a,b]}f(x)d\mu(x)=\infty,[/mm] wobei [mm]\mu[/mm] das Lebesgue-Maß
> bezeichnet.
> Liebe Forenmitglieder,
> ich habe Probleme mit der obigen Aufgabe. Habe bereits
> versucht, eine Funktion zu konstruieren, die auf den
> "verrücktesten" Nullmengen, die ich kenne (das sind
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] und die Cantor-Menge, [mm]\infty[/mm] annimmt, es gelingt
> mir aber nicht, so eine Funktion zu konstruieren. Es liegt
> vielleicht daran, dass ich mir nicht vorstellen kann, wie
> soetwas funktionieren soll: Wie kann eine Funktion, die nur
> auf einer Nullmenge unendlich sein darf, unendliches
> Integral auf jedem Intervall haben?
> Ich denke, dass eine dichte Teilmenge von [0,1], wie
> [mm]\mathbb{Q}\cap[0,1][/mm] hier eine Rolle spielt, dass die
> Funktion auf dieser "verrückte" Werte annehmen muss, habe
> aber keine Idee, wie sie aussehen könnte.
ich hab' mir bzgl. der folgenden Funktion NOCH NIE Gedanken bzgl. der
Integrierbarkeit gemacht, aber vielleicht ist sie ja geeignet?
![[]](/images/popup.gif) Satz 15.16
So rein vom Gefühl her glaube ich aber, selbst, wenn dieses komische Teil
das Gewünschte auch erfüllen sollte, dass es einfacher geht. Vielleicht fällt
mir noch was dazu ein, dann melde ich mich nochmal!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 00:04 Mi 24.09.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Marcel,
deine Funktion kann keine Lösung sein, da f ganz sicher nicht stetig ist.
Wäre f stetig, so würde sie auf [0,1] ihr Maximum annehmen und damit:
[mm] $\int_{[a,b]} [/mm] f dx [mm] \le \int_{[0,1]} [/mm] f dx [mm] \le \int_{[0,1]} \max [/mm] f dx = [mm] \max [/mm] f < [mm] \infty$
[/mm]
Die gesuchte Funktion muss also auf jedem Intervall $[a,b] [mm] \subseteq [/mm] [0,1]$ unstetig sein und zwar an überabzählbar vielen Stellen.
Insbesondere muss f auf jedem Intervall $[a,b] [mm] \subseteq [/mm] [0,1]$ unbeschränkt sein.
Wie du siehst, alles nicht so leicht....
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:53 Mi 24.09.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Gono,
> Hallo Marcel,
>
> deine Funktion kann keine Lösung sein, da f ganz sicher
> nicht stetig ist.
wie gesagt: Ich hatte noch nie drüber nachgedacht, ob diese Funktion
geeignet ist. Aber wenn man kurz drüber nachdenkt, dass die Funktion
aus Satz 15.6 zwar nirgends differenzierbar, wohl aber überall stetig ist
(achja, es steht ja sogar in der Aussage des Satzes mit drin ... da sieht
man mal, dass ich gerade mein Hirn auf Standby hatte), stimmt das, was
Du sagst natürlich:
Stetige Funktionen sind auf kompakten Mengen beschränkt, daraus folgt
sofort (für die nicht negative Funktion [mm] $f\,$ [/mm] der Aufgabe):
> Wäre f stetig, so würde sie auf [0,1] ihr Maximum
> annehmen und damit:
>
> [mm]\int_{[a,b]} f dx \le \int_{[0,1]} f dx \le \int_{[0,1]} \max f dx = \max f < \infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die gesuchte Funktion muss also auf jedem Intervall [mm][a,b] \subseteq [0,1][/mm]
> unstetig sein und zwar an überabzählbar vielen Stellen.
Damit haben wir schonmal eine notwendige Bedingung, auch, wenn sie
sich aus meiner falschen Antwort heraus ergab. Manchmal führt Unsinn
also doch zu gar nicht so schlechten Erkenntnissen, sofern denn der
Unsinn auch als solcher erkannt wird.
Daher Danke an Dich: Unsinn-Erkenner Gono. 
> Insbesondere muss f auf jedem Intervall [mm][a,b] \subseteq [0,1][/mm]
> unbeschränkt sein.
>
> Wie du siehst, alles nicht so leicht....
Ne, wie gesagt: Mir war schon klar, dass mein Vorschlag auch unsinnig sein
könnte - deswegen hatte ich ja dazugeschrieben, dass ich noch nie drüber
nachgedacht habe (dabei hätte ein etwas genaueres Lesen schon gereicht,
um einzusehen, dass das nicht gehen kann ... sowas könnte man jetzt als
Prüfungsaufgabe mitnehmen, falls hier jemand Analysis prüfen darf und
noch ein paar (einfache) Fragen braucht ^^).
Gruß,
Marcel
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