Integral- und Stammfunktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Hallo zusammen,
ich habe noch mal eine kurze inhaltliche Frage.
Wo genau besteht der Unterschied zwischen der Integralfunktion und der Stammfunktion?
Ist die Integralfunktion die Menge aller Stammfunktionen ?
Wenn es ja eine Stammfunktion g(x) zu f(x) finde, das heißt, dass für alle [mm] x\in[a,b] [/mm] gilt, dass g'(x)=f(x), dann finde ich ja noch unendliche viele weitere Stammfunktion zu f. Ist diese Gesamtheit dann die Integralfunktion?
Aber man integriert ja eine Funktion, um auf die Stammfunktion zu kommen ?
Irgendwie werfe ich alle Begriffe durcheinander :(
Hilfe !
Viele Grüße, Ferolei
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Sa 13.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
eine Stammfunktion zu f ist jede Funktion F, für die gilt F'=f.
die Integralfunktion von f mit Parameter [mm] $x_0$ [/mm] ist
[mm] $I_{x_0}(x)=\int_{x_0}^x [/mm] f(s)\ ds$
Normalerweise.
Mit den Namen ist's immer so eine Sache und die Definitionen variieren häufig in kleinen aber entscheidenden Details.
Ist [mm] $0\in\IN$? [/mm] Frag Dein Skript.
Ebenso hier. Schau, wie die Vorlesung/das Buch es definiert.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 So 14.03.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
ist [mm] $f:[a,b]\to\IR$ [/mm] stetig, so sind (wenn man die von Stefan angegebenen Definitionen zugrunde legt) die Integralfunktionen von f Stammfunktionen von f.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo zusammen,
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> ich habe noch mal eine kurze inhaltliche Frage.
> Wo genau besteht der Unterschied zwischen der
> Integralfunktion und der Stammfunktion?
Hallo,
eine Stammfunktion der Funktion f ist eine diffbare Funktion F, für welche gilt F'=f.
Eine Integralfunktion ist, wie schon vorher geschrieben, eine Funktion der Gestalt
[mm] I_{x_0}(x):=\integral_{x_0}^xf(t)dt,
[/mm]
und sofern f stetig ist, ist [mm] I_{x_0} [/mm] eine Stammfunktion von f, dh. es ist [mm] I_{x_0}'=f.
[/mm]
Also: jede Integralfunktion einer stetigen Funktion ist eine Stammfunktion.
Nun kommt der wahre Grund meines Posts: aber nicht jede Stammfunktion einer stetigen Funktion ist eine Integralfunktion!
Ein Beispiel dafür ist [mm] F(x)=x^2+1. [/mm] Diese Funktion ist offensichtlich eine Stammfunktion von f(x)= 2x.
Warum ist es keine Integralfunktion?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
> > Hallo zusammen,
> >
> > ich habe noch mal eine kurze inhaltliche Frage.
> > Wo genau besteht der Unterschied zwischen der
> > Integralfunktion und der Stammfunktion?
>
> Hallo,
>
> eine Stammfunktion der Funktion f ist eine diffbare
> Funktion F, für welche gilt F'=f.
>
> Eine Integralfunktion ist, wie schon vorher geschrieben,
> eine Funktion der Gestalt
>
> [mm]I_{x_0}(x):=\integral_{x_0}^xf(t)dt,[/mm]
>
> und sofern f stetig ist, ist [mm]I_{x_0}[/mm] eine Stammfunktion von
> f, dh. es ist [mm]I_{x_0}'=f.[/mm]
>
> Also: jede Integralfunktion einer stetigen Funktion ist
> eine Stammfunktion.
>
> Nun kommt der wahre Grund meines Posts: aber nicht jede
> Stammfunktion einer stetigen Funktion ist eine
> Integralfunktion!
>
> Ein Beispiel dafür ist [mm]F(x)=x^2+1.[/mm] Diese Funktion ist
> offensichtlich eine Stammfunktion von f(x)= 2x.
> Warum ist es keine Integralfunktion?
>
> Gruß v. Angela
Halle Angela,
das verstehe ich jetzt nicht. Ich kann doch wenn ich die Integralgrenzen setze eine Abbildung der Form x [mm] \mapsto \integral_{a}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
aufstellen ???
Gruß
Ferolei
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 15.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo zusammen,
> > >
> > > ich habe noch mal eine kurze inhaltliche Frage.
> > > Wo genau besteht der Unterschied zwischen der
> > > Integralfunktion und der Stammfunktion?
> >
> > Hallo,
> >
> > eine Stammfunktion der Funktion f ist eine diffbare
> > Funktion F, für welche gilt F'=f.
> >
> > Eine Integralfunktion ist, wie schon vorher geschrieben,
> > eine Funktion der Gestalt
> >
> > [mm]I_{x_0}(x):=\integral_{x_0}^xf(t)dt,[/mm]
> >
> > und sofern f stetig ist, ist [mm]I_{x_0}[/mm] eine Stammfunktion von
> > f, dh. es ist [mm]I_{x_0}'=f.[/mm]
> >
> > Also: jede Integralfunktion einer stetigen Funktion ist
> > eine Stammfunktion.
> >
> > Nun kommt der wahre Grund meines Posts: aber nicht jede
> > Stammfunktion einer stetigen Funktion ist eine
> > Integralfunktion!
> >
> > Ein Beispiel dafür ist [mm]F(x)=x^2+1.[/mm] Diese Funktion ist
> > offensichtlich eine Stammfunktion von f(x)= 2x.
> > Warum ist es keine Integralfunktion?
> >
> > Gruß v. Angela
>
>
> Halle Angela,
>
> das verstehe ich jetzt nicht. Ich kann doch wenn ich die
> Integralgrenzen setze eine Abbildung der Form x [mm]\mapsto \integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm]
>
> aufstellen ???
Dann machen wir das doch mal mit f(t) = 2t (wie Angela vorgeschlagen hat):
[mm] $\integral_{a}^{x}{2t dt}= x^2-a^2$
[/mm]
Was siehst Du ? F ist genau dann eine Integralfunktion von f(t) = 2t , wenn es ein a [mm] \in \IR [/mm] gibt mit
$F(x) = [mm] x^2-a^2$
[/mm]
Siehst Du jetzt, dass $F(x) = [mm] x^2+1$ [/mm] eine Stammfunktion, aber keine Integralfunktion von f(t) = 2t ist ?
FRED
>
> Gruß
>
> Ferolei
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ne, irgendwie verstehe ich nicht, was ihr mir genau zeigen wollt :(
Es ist doch a<x, wenn ich das integrieren will... wo ist dann das Problem ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Mo 15.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ne, irgendwie verstehe ich nicht, was ihr mir genau zeigen
> wollt :(
>
> Es ist doch a<x, wenn ich das integrieren will... wo ist
> dann das Problem ?
Nirgends. Es geht um die Begriffe "Integralfunktion" und "Stammfunktion" stetiger Funktionen
Wir haben: eine Integralfunktion ist eine Stammfunktion, aber eine Stammfunktion muß keine Integralfunktion sein
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:55 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ja, aber ich verstehe nicht so recht wieso.
Wir haben für Stammfkt. genau die Def. wie Angela angegeben hat. ALso falls für alle x des Definitionsbereichs gilt, dass F'(x)=f(x) ist.
Wir haben gesagt, die Integralfkt. ist genau DIE Funktion, die jedem Wert [mm] x_0\in[a,b] [/mm] genau die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen Kurve f und x-Achse im Intervall a bis [mm] x_0 [/mm] zuordnet.
also: Integralfkt = F(x) : x [mm] \mapsto \integral_{a}^{x_0}{f(t) dt}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Mo 15.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ja, aber ich verstehe nicht so recht wieso.
Sag doch mal genau, was Du nicht verstehst
FRED
>
> Wir haben für Stammfkt. genau die Def. wie Angela
> angegeben hat. ALso falls für alle x des
> Definitionsbereichs gilt, dass F'(x)=f(x) ist.
>
> Wir haben gesagt, die Integralfkt. ist genau DIE Funktion,
> die jedem Wert [mm]x_0\in[a,b][/mm] genau die Summe der orientierten
> Flächeninhalte zwischen Kurve f und x-Achse im Intervall a
> bis [mm]x_0[/mm] zuordnet.
> also: Integralfkt = F(x) : x [mm]\mapsto \integral_{a}^{x_0}{f(t) dt}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Angelas Beispiel verstehe ich nicht.
Ich habe gegeben die Funtkion f(x)=2x.
Eine Stammfunktion von f(x) ist wohl [mm] g(x)=x^2+1. [/mm]
D.h. es gilt für alle x, dass g'(x)=f(x), da f stetig ist.
Und wieso ist g(x) dann jetzt keine Integralfunktion ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mo 15.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Angelas Beispiel verstehe ich nicht.
>
> Ich habe gegeben die Funtkion f(x)=2x.
> Eine Stammfunktion von f(x) ist wohl [mm]g(x)=x^2+1.[/mm]
> D.h. es gilt für alle x, dass g'(x)=f(x), da f stetig
> ist.
>
> Und wieso ist g(x) dann jetzt keine Integralfunktion ?
Das hab ich Dir doch oben vorgemacht: jede Integralfunktion hat die Gestalt
$ [mm] \integral_{a}^{x}{2t dt}= x^2-a^2 [/mm] $
Wäre nun obiges g eine Integralfunktion, so müßte mit einem a [mm] \in \IR [/mm] gelten:
[mm] $x^2-a^2=x^2+1$
[/mm]
Kann das sein ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Ok, d.h. aber, dass ich trotzdem Stammfunktionen angeben kann, die auch Integralfunktion ist.
Wenn ich doch zum Beispiel die Stammfkt. [mm] g(x)=x^2-1 [/mm] hätte, wäre diese gleichzeitig auch Integralfkt., denn für a= -1 gilt:
[mm] x^2-a^2=x^2- (-1)^2= x^2 [/mm] -1 , richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mo 15.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, d.h. aber, dass ich trotzdem Stammfunktionen angeben
> kann, die auch Integralfunktion ist.
>
> Wenn ich doch zum Beispiel die Stammfkt. [mm]g(x)=x^2-1[/mm] hätte,
> wäre diese gleichzeitig auch Integralfkt., denn für a= -1
> gilt:
>
> [mm]x^2-a^2=x^2- (-1)^2= x^2[/mm] -1 , richtig?
Ja
nochmal: eine Integralfunktion ist eine Stammfunktion
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Mo 15.03.2010 | | Autor: | Ferolei |
Alles klar, danke :)
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