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| Aufgabe | Ein Polynom 2. Grades hat Nullstellen bei x1 = -1 und x2 = 2. Die Fläche, die zwischen beiden Nullstellen von Kurve und x-achse (oberhalb der x-achse) eingeschlossen wird, beträgt 9. Wie lauten die Koeffizienten des Polynoms?
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Ich vermute mal nicht das Faktorisieren reicht. Dann würde ich nämlich das herausbekommen -> (x+1)(x-2) ergibt [mm] x^2 [/mm] - x - 2
Wen ich nun das ganze über ein Integral versuche würde das ja so aussehen...
[mm] \integral_{-1}^{2}{(x^2 - x - 2)dx}
[/mm]
Was ich dabei aber nun nicht verstehe ist, wen ich dabei nun auch 9 raus bekomme, dann habe ich das gleich wie beim Faktorisieren erreicht bzw. ich hätte die Koeffizienten der Stammfunktion. Oder gibt es eine möglichkeit wen ich eine Fläche habe das Integral zurückzurechnen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Di 10.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
fast richtig! , nur f(x)=a(x-x1)*x-x2) hat dieselben Nullstellen. d.h. a muss durch das Integral festgelegt werden.
Gruss leduart
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Hallo,
schonmal danke... 
Aber ich bin mir nicht völlig sich ob ich das nun verstanden habe. Meinst du damit das Integral erstellen?
Also in der form -> [mm] \integral_{-1}^{2}{(\bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^2 - 2x) dx}
[/mm]
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Hallo warumauchimmer!
> Aber ich bin mir nicht völlig sich ob ich das nun
> verstanden habe. Meinst du damit das Integral erstellen?
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> Also in der form -> [mm]\integral_{-1}^{2}{(\bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^2 - 2x) dx}[/mm]
Und wo ist hier das a? Also, dein "Fehler" war im Prinzip, dass deine Funktion nicht die einzige ist, die die beiden angegebenen Nullstellen hat. Und demnach reicht es auch nicht, über diese Funktion das Integral zu berechnen. Denn, wie du richtig festgestellt hast, wenn da direkt 9 rauskäme, wäre das quasi das Gleiche, wie wenn du nur über deine Faktorisierung gegangen wärst. Und wenn nicht 9 rauskommt, dann kannst du gar nichts ändern - es gäbe dann keine Funktion, die diese Eigenschaften hat.
Wie leduart angegeben hat, hat deine Funktion - wenn du sie mit beliebigen a multiplizierst - auch die angegebenen Nullstellen. Das heißt, es gibt unendlich viele solche Funktionen. Und du suchst nun die eine einzige, deren Fläche in den angegebenen Grenzen =9 ist. Also musst du über alle diese unendlich vielen Funktionen integrieren, um genau die eine zu finden. Du musst also berechnen: [mm] \integral{a*\mbox{deine Funktion}}. [/mm] Hab die Funktion leider nicht mehr im Kopf.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Di 10.07.2007 | | Autor: | Walty |
> Hallo,
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> schonmal danke...
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> Aber ich bin mir nicht völlig sich ob ich das nun
> verstanden habe. Meinst du damit das Integral erstellen?
>
> Also in der form -> [mm]\integral_{-1}^{2}{(\bruch{1}{3}x^3 - \bruch{1}{2}x^2 - 2x) dx}[/mm]
ich glaube Du bist etwas verwirrt worden...
Leduart sagte ja schon "fast richtig"
dein Ansatz [mm] \integral_{-1}^{2}{(x^2 - x - 2)dx} [/mm] stimmte soweit, nur dass du damit nicht alle Funktionen erfasst hast, die diese Nullstellen haben
deswegen sagte leduart du musst auch die Vielfachen deiner Funktion in Betracht ziehen
also statt nur
[mm](x+1)*(x-2)=(x^2 - x - 2)[/mm]
auch alle Funktionen
[mm]a*(x+1)*(x-2)=a*(x^2 - x - 2)[/mm]
(Exkurs: Das ist dann eine sogenannte Funktionen-Schar (Funktionen, die grundsätzlich gleich sind, aber sich nur durch einen Parameter -hier das "a" unterscheiden))
...denn wenn durch die Nullstellen und Faktorisierung alles festgelegt wäre, dann wäre es -wie du richtig vermutetest- in der Tat zu einfach *gg*
also wird dein Integral zu [mm] \integral_{-1}^{2}{a*(x^2 - x - 2)dx}=a*\integral_{-1}^{2}{(x^2 - x - 2)dx}
[/mm]
oben hast Du die Stammfunktion von [mm]x^2 - x - 2[/mm] schon unters Integral geschrieben, da warst Du einen Schritt voraus; die Stammfunktion löst natürlich das Integral
[mm] \integral_{-1}^{2}{(x^2 - x - 2)dx}=[\bruch{1}{3}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] 2x)]_{-1}^2
[/mm]
jetzt noch das a dazu:
[mm] a*\integral_{-1}^{2}{(x^2 - x - 2)dx}=[a*(\bruch{1}{3}x^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x^2 [/mm] - [mm] 2x)]_{-1}^2
[/mm]
und dann ausrechnen
[mm]a*(\bruch{1}{3}2^3 - \bruch{1}{2}2^2 - 2*2)- a*(\bruch{1}{3}(-1)^3 - \bruch{1}{2}(-1)^2 - 2*(-1))[/mm]
[mm]= a* (\bruch{8}{3} - 2 - 4)- a*(\bruch{-1}{3} - \bruch{1}{2} + 2)[/mm]
[mm]=a* (\bruch{8}{3} - 2 - 4 + \bruch{1}{3} + \bruch{1}{2} - 2)[/mm]
[mm]=a* (\bruch{9}{3} - 8 + \bruch{1}{2})[/mm]
das soll aber gleich 9 sein , also
[mm]9= a* (- 4,5)[/mm]
[mm] \gdw a = -2[/mm]
so dass deine gesuchte Funktion letztlich lautet:
[mm]a*(x^2 - x - 2)= -2x^2 +2 x + 4 [/mm]
mit den gesuchten Koeffizienten:
[mm] \{-2,2,4\}
[/mm]
hth Gruß Walty
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