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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_0^1\burch{3t+5}{1+(t+1)^2}dt [/mm] |
Hätte hier vllt jmd einen Ansatz für mich?
So "direkt" finde ich keine Stammfkt. und bei Partiellem Integrieren finde ich keine adequate Zerlegung.
Gruß Zerwas
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> Berechnen Sie das folgende Integral:
> [mm]\integral_0^1\bruch{3t+5}{1+(t+1)^2}dt[/mm]
> Hätte hier vllt jmd einen Ansatz für mich?
Es ist ja [mm] $3t+5=\frac{3}{2}\cdot [/mm] 2(t+1)+2$, also
[mm]\integral_0^1\bruch{3t+5}{1+(t+1)^2}dt=\tfrac{3}{2}\integral_0^1 \frac{2(t+1)}{1+(t+1)^2}\; dt+2\integral_0^1 \frac{1}{1+(t+1)^2}\;dt[/mm]
und dann Substitution: beim ersten Integral $u(t) := [mm] (t+1)^2$ [/mm] und beim zweiten $u(t):=t+1$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Zerwas |
Die Zerlegung des Integrals
$ [mm] \integral_0^1\bruch{3t+5}{1+(t+1)^2}dt=\tfrac{3}{2}\integral_0^1 \frac{2(t+1)}{1+(t+1)^2}\; dt+2\integral_0^1 \frac{1}{1+(t+1)^2}\;dt [/mm] $
ist klar. Jedoch nicht wie man auf diese Zerlegung kommt.
Und was substituiere ich dann wie?
allgemein ja indem ich [mm] \integral_a^b f(\phi(t))*\phi'(t)\;dt [/mm] in [mm] \integral_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)\;dx [/mm] umforme
Das hieße dann also:
[mm] \tfrac{3}{2}\integral_0^1 \frac{2(t+1)}{1+(t+1)^2}\; dt+2\integral_0^1 \frac{1}{1+(t+1)^2}\;dt= \bruch{3}{2}\integral_{(0+1)^2=1}^{(1+1)^2=4}{\bruch{1}{1+x} dx} [/mm] + [mm] 2*\integral_{(0+1)=1}^{(1+1)=2}{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
= [mm] \buch{3}{2}*[ln(x+1)]_1^4+2*[arctan (x)]_1^2
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{2} [/mm] *(ln 5 - ln 2) +2*(arctan 2 - arctan(1))
[mm] \approx [/mm] 2,017936098
Passt das so?
Und vielen Dank 
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> Die Zerlegung des Integrals
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> [mm]\integral_0^1\bruch{3t+5}{1+(t+1)^2}dt=\tfrac{3}{2}\integral_0^1 \frac{2(t+1)}{1+(t+1)^2}\; dt+2\integral_0^1 \frac{1}{1+(t+1)^2}\;dt[/mm]
>
> ist klar. Jedoch nicht wie man auf diese Zerlegung kommt.
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> Und was substituiere ich dann wie?
> allgemein ja indem ich [mm]\integral_a^b f(\phi(t))*\phi'(t)\;dt[/mm]
> in [mm]\integral_{\phi(a)}^{\phi(b)} f(x)\;dx[/mm] umforme
Ja, eben: Du siehst also [mm] $(t+1)^2$ [/mm] im Nenner des gegebenen Integrals und ein gewisses Vielfaches von $t$ im Zähler. Wollte man also etwa [mm] $\phi(t)=(t+1)^2$ [/mm] nehmen, dann wäre also [mm] $\phi'(t)=2(t+1)$. [/mm] Damit hat man ein Ziel für die Umformung des Zählers. Und die Konstante im Zähler, die man dann in $2(t+1)$ nicht unterbringen kann, verschiebt man einfach (mit dem Nenner) in ein anderes Integral. Dass sich dort eine lineare Substitution [mm] $\phi(t)=t+1$ [/mm] anbietet, ist klar.
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> Das hieße dann also:
> [mm]\tfrac{3}{2}\integral_0^1 \frac{2(t+1)}{1+(t+1)^2}\; dt+2\integral_0^1 \frac{1}{1+(t+1)^2}\;dt= \bruch{3}{2}\integral_{(0+1)^2=1}^{(1+1)^2=4}{\bruch{1}{1+x} dx}[/mm]
> + [mm]2*\integral_{(0+1)=1}^{(1+1)=2}{\bruch{1}{1+x^2} dx}[/mm]
> =
> [mm]\buch{3}{2}*[ln(x+1)]_1^4+2*[arctan (x)]_1^2[/mm]
> =
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] *(ln 5 - ln 2) +2*(arctan 2 - arctan(1))
> [mm]\approx[/mm] 2,017936098
>
> Passt das so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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