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| Aufgabe | | [mm] $\integral \bruch{1}{x*\wurzel{1-x^2}}=ln\left| \bruch{x}{1+\wurzel{1-x^2}} \right|$ [/mm] |
Hallo,
könnte mir bitte jemand auf die Sprünge helfen, wie man dieses Integral angeht?
Vielen Dank im Voraus.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
substituiere [mm] u=\wurzel{1-x^2}.
[/mm]
Führe nach der Substitution eine Partialbruchzerlegung durch. Kontrolle: beide Koeffizienten haben den Betrag [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Dann integrieren, resubstituieren, und wenn nötig, umformen. Ich finde die Lösungsform, die man so direkt findet, eigentlich schöner. Bedenke: [mm] \ln{a}-\ln{b}=\ln{\left(\bruch{a}{b}\right)}
[/mm]
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Di 24.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo reverend,
besten Dank für die Antwort.
[mm] $\integral \bruch{1}{x\wurzel{1-x^2}}\;dx$
[/mm]
[mm] $v=\wurzel{1-x^2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{dv}{dx}=\bruch{-x}{\wurzel{1-x^2}}$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{1}{x\wurzel{1-x^2}}\;dx=\integral \bruch{-1}{x^2}\;dv=\integral \bruch{-1}{1-v^2}\;dv$
[/mm]
[mm] $\integral \bruch{-1}{1-v^2}\;dv=\integral \bruch{1/2}{1-v}-\bruch{1/2}{1+v}\;dv=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1-v}{1+v} \right)=\bruch{1}{2}*ln\left(\bruch{1-\wurzel{1-x^2}}{1+\wurzel{1-x^2}} \right)=ln\wurzel{\bruch{1-\wurzel{1-x^2}}{1+\wurzel{1-x^2}}} [/mm] $
Der Nenner sieht schon gut aus - aber der Zähler nicht; und die Wurzel drüber auch nicht.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Di 24.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Martinius,
ab hier ist es dafür "nur noch" das beliebte Umformen von Wurzeln und Logarithmen. Immerhin bist Du doch das Integral losgeworden. 
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Di 24.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo reverend,
na dann ... Ich habe ja heute noch den ganzen Tag Zeit.
Danke.
LG, Martinius
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Hallo Martinius,
reverends "nur noch" ist ernst gemeint.
Erweitere mal den Bruch unter der großen Wurzel in deiner Lösung mit [mm] $1+\sqrt{1-x^2}$ [/mm] ...
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Di 24.02.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo Schachuzipus,
ja, jetzt seh' ich's. Danke Dir!
LG, Martinius
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