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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Samoth |
Hallo,
ich habe Probleme folgendes zu zeigen:
[mm]
I_{n+1} = \left( 1 - \bruch{1}{2n}\right) I_{n} + \bruch{x}{2n( x^{2} + 1)^{n}} , n \ge 1 [/mm]
mit [mm] I_{n} := \integral_{}^{} { \bruch{dx}{( x^{2} + 1)^{n}}} [/mm]
...ich habe es mit vollständiger Induktion versucht, jedoch kam ich damit nicht richtig voran.
Ich würde mich freuen wenn mir jemand einen kleinen Tipp geben könnte, wie man hier vorgehen könnte.
Vielen Dank!
Samoth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 23.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Samoth
Ich würde es mit partieller Integration versuchen:
[mm] $\int \frac{dx}{(x^2+1)^n}=\int \underbrace{1}_{u'}\underbrace{\frac{1}{(x^2+1)^n}}_{v}dx$
[/mm]
$= [mm] \frac{x}{(x^2+1)^n}+\frac{2}{n}\int\frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x}{(x^2+1)^n}+\frac{2}{n}\int\frac{x^2+1-1}{(x^2+1)^{n+1}} [/mm] $
[mm] $=\frac{x}{(x^2+1)^n}+\frac{2}{n}(\int\frac{1}{(x^2+1)^n}-\int\frac{1}{(x^2+1)^{n+1}})$
[/mm]
Oder alles in allem:
[mm] $I_n=\frac{x}{(x^2+1)^n}+\frac{2}{n}(I_n-I_{n+1})$.
[/mm]
Du kannst jetzt diese Gleichung nach [mm] $I_{n+1}$ [/mm] auflösen und du erhälst die gewünschte Rekursion.
Und wenn ich mich nicht verrechnet habe, so erhalte ich
[mm] $I_{n+1}=(1-\frac 2n)I_n+\frac{nx}{2(x^2+1)^n}$. [/mm] Deine Formel scheint einen Fehler zu enthalten.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Samoth |
Also erstmal vielen Dank für deine rasche Antwort :)
Darauf wäre ich ja nie gekommen....
Jedoch ist die von mir angegebene Rekusionsformel richtig,
denn es muss nach der partiellen Integration:
[mm] I_{n} = \frac{x}{(x^2+1)^n}+2n\int\frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}} [/mm]
heißen....
Also nochmal vielen Dank für deine Hilfe!
Mfg Samoth
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