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| Aufgabe | - [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx} [/mm] =
= [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] * [mm] e^{-ik*\pi} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] * [mm] e^{ik*\pi} [/mm] |
Hallo,
das ist ein bisschen triviale Frage, aber ich komme nicht drauf wieso bekommt man aus:
- [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx} [/mm] =
das:
= [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] * [mm] e^{-ik*\pi} [/mm] - [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] * [mm] e^{ik*\pi}
[/mm]
Und zwar mit ist es klar, dass pi und -pi eingesetzt werden, das was ich nicht verstehe ist wieso kommt aus dem Integral [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] raus.. nach welcher Formel kommt das? Ich kenne die allg. formel Integral von [mm] ne^{kx} [/mm] ist [mm] e^{nx}, [/mm] aber in der aufgabe ist unsere n = -ik und nicht [mm] \bruch{1}{-ik}.. [/mm] Kann mir jemand helfen?
Grüße
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ich meinte die allg. formel ist Integral von [mm] ne^{nx} [/mm] = [mm] e^{nx} [/mm] .. k war da falsch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Do 10.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Du bist da auf einen falschen Weg geraten. Es kommt nicht [mm] $\bruch{1}{k^2}$ [/mm] heraus.
Nimm [mm] $\bruch{1}{a}e^ax$. [/mm] Leite es ab. Du erhältst $e^ax$. Nichts anderes ist hier passiert. Nur heißt das a hier -1k.
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Hallo,
danke für die Antwort. Sie haben schon recht, dass abgeleitet der Ansatz stimmt, nur ich leite nicht ab, sondern integriere.. Und ich dachte dann gilt die Formel Integral von [mm] ae^{ax} [/mm] = [mm] e^{ax} [/mm] Verstehe nicht was ich mit der Ableitung anfangen soll..
Und ich habe Integral von [mm] \bruch{1}{a} e^{ax} [/mm] ...
Die Lösung stammt von dem Übungsleiter an der Uni und die ganze weitere Lösung basiert darauf... Krasse Sache
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Do 10.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> danke für die Antwort. Sie haben schon recht, dass
> abgeleitet der Ansatz stimmt, nur ich leite nicht ab,
> sondern integriere.. Und ich dachte dann gilt die Formel
> Integral von [mm]ae^{ax}[/mm] = [mm]e^{ax}[/mm] Verstehe nicht was ich mit
> der Ableitung anfangen soll..
> Und ich habe Integral von [mm]\bruch{1}{a} e^{ax}[/mm] ...
> Die Lösung stammt von dem Übungsleiter an der Uni und
> die ganze weitere Lösung basiert darauf... Krasse Sache
stimmt doch alles:
- $ [mm] \integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx} [/mm] $ =
= $ [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] $ * $ [mm] e^{-ik\cdot{}\pi} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{k^{2}} [/mm] $ * $ [mm] e^{ik\cdot{}\pi} [/mm] $
Ich duze übrigens immer:
Also beachte:
[mm] $$\int \frac{1}{t}e^{tx}dx=\frac{1}{t^2}e^{tx}\;\;(+\text{const. (Funktion)})$$
[/mm]
Das erhältst Du beispielsweise per Substitution
$$y=tx [mm] \Rightarrow [/mm] dy=tdx [mm] \Rightarrow \int \frac{1}{t}e^{tx}dx=\frac{1}{t}\int e^{tx}\frac{tdx}{t}=\frac{1}{t^2}\int e^ydy=\frac{1}{t^2}e^y=\frac{1}{t^2}e^{tx}\,,$$
[/mm]
oder aber, indem Du einfach mal $x [mm] \mapsto \frac{1}{t^2}e^{tx}$ [/mm] nach [mm] $x\,$ [/mm] unter Einbeziehung der Kettenregel ableitest.
Bei Dir ist halt [mm] $t=-ik\,,$ [/mm] der Rest ist einfach der HDI und Anwendung von Rechenregeln wie "Minus mal Minus macht Plus, integrieren ist linear und [mm] $i^2=-1$...".
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Fr 11.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx}[/mm] =
>
> = [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] * [mm]e^{-ik*\pi}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] *
> [mm]e^{ik*\pi}[/mm]
> Hallo,
> das ist ein bisschen triviale Frage, aber ich komme nicht
> drauf wieso bekommt man aus:
> - [mm]\integral_{-\pi}^{\pi} {\bruch{1}{-ik} e^{-ikx} dx}[/mm] =
> das:
> = [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] * [mm]e^{-ik*\pi}[/mm] - [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] *
> [mm]e^{ik*\pi}[/mm]
> Und zwar mit ist es klar, dass pi und -pi eingesetzt
> werden, das was ich nicht verstehe ist wieso kommt aus dem
> Integral [mm]\bruch{1}{k^{2}}[/mm] raus.. nach welcher Formel kommt
> das? Ich kenne die allg. formel Integral von [mm]ne^{kx}[/mm] ist
> [mm]e^{nx},[/mm] aber in der aufgabe ist unsere n = -ik und nicht
> [mm]\bruch{1}{-ik}..[/mm] Kann mir jemand helfen?
> Grüße
ich schreib's der Deutlichkeit halber hier vielleicht auch nochmal hin:
Natürlich gilt (ich erspare mir nun konstante Funktionen)
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\int ae^{ax}dx=e^{ax}\,,$$
[/mm]
aber hier wollen wir ja [mm] $\int \frac{1}{a}e^{ax}dx$ [/mm] berechnen.
Die Vorkenntnis aus [mm] $(\*)$ [/mm] kann man dazu auch benutzen (wenn man nicht das ganze wieder mit Subst. rechnen will):
$$ [mm] \blue{\int \frac{1}{a}e^{ax}dx=\int \frac{a}{a^2}e^{ax}dx=\frac{1}{a^2}\int ae^{ax}dx\stackrel{(\*)}{=}\frac{1}{a^2}e^{ax}}\,,$$
[/mm]
wobei natürlich [mm] $a\,$ [/mm] als eine (von [mm] $x\,$ [/mm] unabhängige) Konstante angenommen wird.
Gruß,
Marcel
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Hi Marcel,
Jetzt ist alles klar :) Danke für die tolle Antworten!
Grüße
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