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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 25.09.2005 | | Autor: | Magnia |
Gegeben sind f(x)= [mm] x^2 [/mm] und g(x)= kx
Für welches K>0 ist der Flächeninhalt zwischen den beiden Funktionsgraphen genau K FE groß ?
mein ansatz
[mm] x^2 [/mm] = kx / :x
x= k
[mm] \integral_{?}^{?} {x^2-kx dx = k}
[/mm]
ich weiss nicht so recht ?
wie bekomme ich die grenzen raus
is das überhaupt richtig ?
bin sehr ratlos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:19 So 25.09.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
du hast schon mal gut angefangen. Doch dann ist es leider falsch geworden.
Du hast die Funktion [mm] f(x)=x^{2} [/mm] und g(x)=kx. Diese beiden Funktionen schneiden sich. Und zwar das eine ist eine Parabel durch den Ursprung, das andere ist auf jedenfall immer eine Ursprungsgerade durch den Nullpunkt mit k>0, also auch immer steigend. Das heist die Gerade wird die Parabel immer so schneiden das die Fläche, die dazwischen liegt immer von der Geraden g(x) als oberer Graph begrenzt wird.
Das heißt. Du brauchst ja auch die Integrationsgrenzen, die du nicht rausgefunden hast. Die bekommst du wenn du dir die Schnittpunkte zwischen den Graphen ausrechnest, also einmal der gemeinsame Nullpunkt (0/0) und dann der Schnittpunkt: [mm] x^{2}=kx [/mm]
Nun durch x teilen und du erhälst x=k. Das bedeutet, der zweite Schnittpunkt hat die x-Koordinate k. Wenn du nun k in eine der beiden Ursprungsgleichungen einsetzt erhälst du den zugehörigen y-Wert des zweiten Schnittpunktes. Dann hast du als Schnittpunkt (k/ [mm] k^{2}).
[/mm]
Nun hast du also deine Integrationsgrenzen gefunden, nämlich von 0 bis k muss integriert werden.
Dann hast du noch den Fehler gemacht, das nicht die Parabel der obere Graph ist sondern immer die Gerade, das heisst du musst das Integral ausrechnen: [mm] \integral_{0}^{k} [/mm] {g(x)-f(x) dx} [mm] \Rightarrow \integral_{0}^{k} {kx-x^2 dx}. [/mm]
Den Faktor k kannst du rausziehen und du bekommst dann: [mm] k*\integral_{0}^{k} [/mm] { [mm] x-x^2 [/mm] dx} [mm] \Rightarrow [/mm] [ [mm] \bruch{1}{2}kx^2- \bruch{1}{3}x^3]. [/mm]
Nun müssen natürlich noch die Grenzen für das x eingesetzt werden so dass du dann erhälst: [mm] \bruch{1}{2}k^3-\bruch{1}{3}k^3=k
[/mm]
Nun löst du das ganze nach k auf und erhälst dann eine Gleichung dritten Grades. Da brauchst du dann nur noch auszuklammern und du erhälst drei verschiedene k´s. Meine Lösungen lauten für dich als Kontrolle: [mm] k_{1}=0, k_{2} \approx+ \wurzel{5,88}, k_{3}\approx- \wurzel{5,88}. [/mm] Da die Frage lautete für welches k>0 hast du also nur [mm] k_{2} [/mm] als Lösung.
Ich hoffe das dir nun klar ist wie es geht. Rechne es einfach mal durch und sieh ob es klar ist, wenn nicht, melde dich einfach nochmal.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 So 25.09.2005 | | Autor: | Disap |
Guten Tag.
> Hallo,
> ....
> ...
> Nun durch x teilen und du erhälst x=k. Das bedeutet, der
Also so einfach kannst du nicht durch x teilen, da musst du vorher noch schreiben, dass x nicht für Null definiert ist, da du nicht durch Null teilen darfst.
> ...
> ...
> Nun müssen natürlich noch die Grenzen für das x eingesetzt
> werden so dass du dann erhälst:
> [mm]\bruch{1}{2}k^3-\bruch{1}{3}k^3=k[/mm]
Also das ist das selbe wie:
[mm] \bruch{3}{6}k^3-\bruch{2}{6}k^3=k
[/mm]
[mm] \bruch{1}{6}k^3=k
[/mm]
> Nun löst du das ganze nach k auf und erhälst dann eine
> Gleichung dritten Grades. Da brauchst du dann nur noch
> auszuklammern und du erhälst drei verschiedene k´s. Meine
> Lösungen lauten für dich als Kontrolle: [mm]k_{1}=0, k_{2} \approx+ \wurzel{5,88}, k_{3}\approx- \wurzel{5,88}.[/mm]
> Da die Frage lautete für welches k>0 hast du also nur [mm]k_{2}[/mm]
> als Lösung.
[mm] \bruch{1}{6}k^3=k
[/mm]
0 = [mm] \bruch{1}{6}k^3-k
[/mm]
0 = k * [mm] (\bruch{1}{6}k^2-1)
[/mm]
[mm] k_{1}=0
[/mm]
[mm] k_{2}=+ \wurzel{6}
[/mm]
[mm] k_{3}= [/mm] - [mm] \wurzel{6}
[/mm]
Brüche sind immer genauer. Du solltest auch mit Brüchen rechnen, sofern es möglich ist.
> Ich hoffe das dir nun klar ist wie es geht. Rechne es
> einfach mal durch und sieh ob es klar ist, wenn nicht,
> melde dich einfach nochmal.
>
> Gruß,
> clwoe
>
Gruss Disap
Edit: Der Doppelpost habe ich getätigt, damit ihr es besser versteht. Kleiner Scherz. Das lag nur am Server, auch wenns komisch aussieht, dass ich 20Minuten später noch einmal den selben Eintrag getätigt habe.
Dass der Server kurzzeitig down ist, dafür kann ich nichts, auch nicht für die Folgen, die dadurch entstehen - Doppelpost.
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