Integral ausrechnen? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
da bin ich mal wieder.
Ich habe vor paar Tagen schon 2 Aufgaben wo es darum geht das Integral auszurechnen, hier ins Forum geschrieben.
Ich habe noch eine, bei der ich ganz recht nicht weiß...
Let f: [mm] [-2,2]\times[-2,2] \to \IR [/mm] be defined by
[mm] f(x,y)=\begin{cases} \wurzel{1-x^2-y^2}, & \mbox{if } x^2+y^2 \le 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{if } x^2+y^2 > 1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Calculate [mm] \integral_{-2}^{2} \integral_{-2}^{2} [/mm] f(x,y) dydx
Muss man hier zuerst so integrieren?
[mm] \integral_{-2}^{2} {\wurzel{1-x^2-y^2} dx}
[/mm]
Und dann was ich hier rausbekomme nach dy integrieren?
Wenn ja, wie mach ich das mit der Wurzel??
Danke!!!
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Hallo Prinzessin,
> Calculate [mm]\integral_{-2}^{2} \integral_{-2}^{2}[/mm] f(x,y)
> dydx
>
> Muss man hier zuerst so integrieren?
>
> [mm]\integral_{-2}^{2} {\wurzel{1-x^2-y^2} dx}[/mm]
> Und dann was
> ich hier rausbekomme nach dy integrieren?
>
> Wenn ja, wie mach ich das mit der Wurzel??
So ist es.
Das Problem mit der Wurzel löst Du mit Hilfe der Substitution
[mm]\begin{gathered}
x\; = \;r\;\cos \;t \hfill \\
y\; = \;r\;\sin \;t \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Dann folgt:
[mm]\int\limits_0^1 {\int\limits_0^{2\pi } {r\;\sqrt {1\; - \;r^2 } } } \; dr\;d\varphi [/mm]
Natürlich kannst Du das auch nacheinander machen. Da brauchst Du da
aber eine andere Substitution.
Gruß
MathePower
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Danke für die Antwort.
Also durch deine Hilfe habe ich
[mm] \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{2\pi } {r\;\sqrt {1\; - \;r^2 } } } \; dr\;d\varphi
[/mm]
Mich verwirrt grad wo das r sin t und r cos t bleibt ?!
Und hier habe ich wieder eine Wurzel von der ich die Stammfunktion nehmen muss?
Oder muss man das noch irgendwie anders umformen?
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Hallo Prinzessin,
> Also durch deine Hilfe habe ich
> [mm]\int\limits_0^1 {\int\limits_0^{2\pi } {r\;\sqrt {1\; - \;r^2 } } } \; dr\;d\varphi[/mm]
>
> Mich verwirrt grad wo das r sin t und r cos t bleibt ?!
>
> Und hier habe ich wieder eine Wurzel von der ich die
> Stammfunktion nehmen muss?
der Integrand ist von der Gestalt [mm]f'\*f[/mm]. Die Stammfunktion hiervon solltest Du berechnen können.
Gruß
MathePower
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Hallo,
meinst du mit f die Funktion
[mm] r*\wurzel{1-r^2} [/mm] ?
Dann hätte ich
f'*f
[mm] =-\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}*r*\wurzel{1-r^2}
[/mm]
[mm] =-r^2
[/mm]
Das kann aber nicht sein oder?
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Hallo Prinzessin,
> Hallo,
>
> meinst du mit f die Funktion
> [mm]r*\wurzel{1-r^2}[/mm] ?
>
> Dann hätte ich
>
> f'*f
> [mm]=-\bruch{r}{\wurzel{1-r^2}}*r*\wurzel{1-r^2}[/mm]
> [mm]=-r^2[/mm]
>
> Das kann aber nicht sein oder?
ich meine als f den Ausdruck unter der Wurzel.
Dann steht dann da: [mm]f' * f^{0.5}[/mm]
Gruß
MathePower
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Vielleicht verstehe ich jetzt was vollkommen falsch.
Also du sagtest f ist der Ausdruck unter der Wurzel, also [mm] 1-r^2
[/mm]
Dann hast du ja noch gesagt, dass der Integrand von der Gestalt f'*f ist.
Demnach ist ja [mm] f'*f=-2r*(1-r^2)=-2r+r^4 [/mm] ?
Denn was passiert mit dem r vor der Wurzel?
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Hallo Prinzessin,
> Also du sagtest f ist der Ausdruck unter der Wurzel, also
> [mm]1-r^2[/mm]
> Dann hast du ja noch gesagt, dass der Integrand von der
> Gestalt f'*f ist.
>
> Demnach ist ja [mm]f'*f=-2r*(1-r^2)=-2r+r^4[/mm] ?
ich meinte sowas
[mm]\iint { - \frac{1}
{2}\;f'(r)\;}\sqrt {f(r)} \;dr\;d\varphi [/mm]
Die Stammfunktion von [mm] - \frac{1}{2}\;f'(r)\sqrt {f(r)} [/mm] ist dann [mm] - \frac{1} {3}\;\sqrt[3]{{f(r)}}[/mm]
Gruß
MathePower
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Also, wenn man jetzt berechnet:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {r*\wurzel{1-r^2} dr}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi} {-0.5*f'(r)\wurzel{f(r)} dr}
[/mm]
[mm] =[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{f(r)}]_{0}^{2\pi}
[/mm]
[mm] =[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{2\pi}
[/mm]
Ist das so richtig?
Weiter würde ich dann so machen
[mm] -\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-2\pi^2}-(-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-0^2})
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-2\pi^2}+\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1}
[/mm]
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Hallo Prinzessin,
> Also, wenn man jetzt berechnet:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {r*\wurzel{1-r^2} dr}[/mm]
Es muss heißen:
[mm]\integral_{0}^{1} {r*\wurzel{1-r^2} dr}[/mm]
Die anderen Grenzen sind für den Winkel [mm]\varphi[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{2\pi} {-0.5*f'(r)\wurzel{f(r)} dr}[/mm]
>
> [mm]=[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{f(r)}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>
> [mm]=[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{2\pi}[/mm]
>
Demzufolge dann auch:
[mm]=[-\bruch{1}{3}*\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{1}[/mm]
Gruß
MathePower
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Danke!!
[mm] =[-\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{1}
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{3}*0-(-\bruch{1}{3}*1)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}
[/mm]
Bei anderen Aufgaben zuvor müsste ich demnach jetzt
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{3} d\varphi}
[/mm]
ausrechnen.
Wie bekomme ich die andere Variable?
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Hallo Prinzessin,
> Danke!!
>
> [mm]=[-\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel[3]{1-r^2}]_{0}^{1}[/mm]
> [mm]=-\bruch{1}{3}*0-(-\bruch{1}{3}*1)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{3}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Bei anderen Aufgaben zuvor müsste ich demnach jetzt
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{3} d\varphi}[/mm]
>
> ausrechnen.
>
> Wie bekomme ich andere Variable?
Das ist keine mehr von [mm]\varphi[/mm] abhängige Funktion.
Einfach die Konstante hier nach [mm]\varphi[/mm] integrieren. Grenzen einsetzen und fertig.
Gruß
MathePower
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> Das ist keine mehr von [mm]\varphi[/mm] abhängige Funktion.
> Einfach die Konstante hier nach [mm]\varphi[/mm] integrieren.
> Grenzen einsetzen und fertig.
>
> Gruß
> MathePower
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{3} d\varphi}
[/mm]
[mm] =[\bruch{1}{3}\varphi]_{0}^{2\pi}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*2\pi-\bruch{1}{3}*0
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}*2\pi
[/mm]
Richtig?
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Hallo Prinzessin,
> > Das ist keine mehr von [mm]\varphi[/mm] abhängige Funktion.
> > Einfach die Konstante hier nach [mm]\varphi[/mm] integrieren.
> > Grenzen einsetzen und fertig.
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{1}{3} d\varphi}[/mm]
>
> [mm]=[\bruch{1}{3}\varphi]_{0}^{2\pi}[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{3}*2\pi-\bruch{1}{3}*0[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{3}*2\pi[/mm]
>
> Richtig?
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
vielen vielen...lieben Dank dir für deine Hilfe!
Für allem wieder für deine Ausdauer, da ich oft so oberflächlich mit den Aufgaben/Tipps umgehe!
Danke dir!
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Hallo Prinzessin,
> Also durch deine Hilfe habe ich
> [mm]\int\limits_0^1 {\int\limits_0^{2\pi } {r\;\sqrt {1\; - \;r^2 } } } \; dr\;d\varphi[/mm]
>
> Mich verwirrt grad wo das r sin t und r cos t bleibt ?!
das ist folgendermaßen zu erklären:
Das Integral [mm]\iint {f\left( {x,y} \right)}\;dy\;dx[/mm] geht durch die Transformation
[mm]
\begin{gathered}
x\; = \;x\left( {r,\;t} \right) \hfill \\
y\; = \;y\left( {r,\;t} \right) \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
über in
[mm]\iint {f\left( {x\left( {r,\;t} \right),y\left( {r,\;t} \right)} \right)\;\det \;J}\;dr\;dt[/mm]
wobei
[mm]\det J\; = \;\left| {\begin{array}{*{20}c}
{\frac{{\delta x}}
{{\delta r}}} & {\frac{{\delta x}}
{{\delta t}}} \\
{\frac{{\delta y}}
{{\delta r}}} & {\frac{{\delta y}}
{{\delta t}}} \\
\end{array} } \right|[/mm]
Und die Determinante ist hier in diesem Fall ja gleich r.
Gruß
MathePower
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