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| Aufgabe | Funktinenschar ft: ft(x)= (t+lnx)/x x>0
Die Funktion ft, die xAchse und die zur y-Achse parallele Gerade durch den Hochpunkt von ft umschließen eine endliche Fläche. Bestimmen sie deren Inhalt und interpretieren sie das Ergebnis. |
Also ich habe bereits die Nullstelle und die x Koodinate für den Hochpunkt ausgerechnet:
Nullstelle: e^(-t)
Hochpunkt: e^(1-t)
Also ich muss ja dann das Integral von e^(-t) bis e^(1-t) bilden. Sind diese Werte überhaupt richtig? Müssten eigeneltich stimmen.
So und das Integral kann ich aber nicht bestimmen, weil ich dazu ja die Funktion aufleitenmuss...
Wenn ich es nach der Methode aus dem Unterrich mache wäre:
u=x u'=1 v'= t+lnx aber was wäre dann v? also was ist die Aufleitung von lnx?
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Ja das was ich geschrieben hab mit u und u' und v und v' ist doch partielle Integration oder?
Aber wie ist denn dann v in diesem Fall?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Arkus |
Hallo, wie mathmetzsch bereits gezeigt hat ^^, brauchst du auch bloß die Substitution anzuwenden:
[mm] $f(x)=\frac{t+ln(x)}{x}$
[/mm]
also:
[mm] $\int \frac{t+ln(x)}{x} [/mm] dx$
dabei substituierst du t+ln(x) mit z.B. p :
$p:=t+ln(x)$
[mm] $\frac{dp}{dx}=\frac{1}{x}$
[/mm]
$dx=xdp$
du erhälst:
[mm] $\int \frac{p}{x} \cdot [/mm] xdp$
das ist
[mm] $\int [/mm] pdp= [mm] \frac{1}{2}p^2+C$
[/mm]
wenn du nun resubstituierst, das heißt für p nun $t+ln(x)$ einsetzt, erhälst du dein gewünschtes Integral.
MfG Arkus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-fee!
Deine Nullstelle und Dein realtives Maximum sind okay ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Wie Arkus bereits geschrieben hat (bzw. verlinkt hat), lässt sich [mm] $\ln(x)$ [/mm] mit partieller Integration integrieren:
[mm] $\integral{\ln(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\red{1}*\ln(x) \ dx}$
[/mm]
mit: $u' \ := \ 1$ und $v \ = \ [mm] \ln(x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo,
die Integration durch Substitution liefert noch eine nette Variante, um Integrale der Form
[mm] \integral_{}^{}{f(x)*f'(x) dx}
[/mm]
zu integrieren. Nämlich
[mm] \integral_{}^{}{f(x)*f'(x) dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{u du}=0,5u^{2}
[/mm]
[mm] =0,5[f(x)]^{2}
[/mm]
Genau so ein Integral hast du vorzuliegen und kannst es also so integrieren. Bedeutet:
f(x)=ln(x), f'(x)=1/x
Und was ist dann dein Integral?
Viele Grüße und guten Rutsch
Daniel
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus