Integral berechnen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 06.12.2006 | | Autor: | vikin |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1)
a)
Berechne [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ (sinx)² dx} [/mm] anhand der partielen Integrtion.
b)
Bestimme [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ (sinx)² dx} [/mm] mit der hilve von symmetrieüberlegungen zum graphen der funktion.
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hallo an alle mathegnies,
ich komme leider nicht weiter bei dieser aufgabe.
ich schreibe am dienstag eine arbeit hierüber, und muss esirgendwie lernen.
kann mir jemand bitte speziell bei dieser aufgabe helfen?
danke
tschüß
vikinn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo vikin!
Zerlege das Integral in:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ [\sin(x)]^2 \ dx} \ = \ \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{ \sin(x)*\sin(x) \ dx}[/mm]
Nun wähle $u \ = \ [mm] \sin(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ [mm] \cos(x)$
[/mm]
$v' \ = \ [mm] \sin(x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] -\cos(x)$
[/mm]
Bedenke im nächsten Schritt, dass gilt: [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x) [/mm] \ = \ 1$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 07.12.2006 | | Autor: | vikin |
hallo,
danke für deine ansätze, werde mich jetzt mit denen auseinandersetzen.
Könnte mir jemand bitte bei der teilaufgabe b) weiterhelfen.
ich verstehe das leider auch nicht genau, und nicht auf antrieb.
danke.
mfg
v
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Do 07.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Schau dir mal das per ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot gezeichnete Bild an.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Du erkennst hier, dass der Graph von f(x):=sin(x)² achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
(generell zu jeder Gerade [mm] x=k\pi, k\in\IZ)
[/mm]
Und zu jeder Gerade [mm] x=\bruch{2k+1}{2}\pi [/mm] (das sind diejenigen, die durch die Hochpunkte verlaufen)
Bist du sicher, dass du folgendes Integral lösen sollst.
[mm] \integral_{0}^{\red{\bruch{\pi}{2}}}{sin(x)²dx} [/mm] und nicht
[mm] \integral_{0}^{\red{\pi}}{sin(x)²dx}, [/mm] weil hier würde aus oben genannten Symmetriegründen gelten:
[mm] 2*\integral_{0}^{\red{\bruch{\pi}{2}}}{sin(x)²dx}=\integral_{0}^{\red{\pi}}{sin(x)²dx}
[/mm]
Hilft das weiter?
EDIT: Ich habe das Integral noch bearbeiten müssen, da war noch ein Fehler drin
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpeg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Do 07.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Danke für den Hinweis
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Do 07.12.2006 | | Autor: | vikin |
hallo,
danke für eure antworten, habe es kapiert, aber reicht das als begründung, wenn ich nur sage, dass pi/2 ein viertel der periode ist und damit die fläche auch ein viertel des einheitskreises beträgt?
danke.
mfg
vikin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Do 07.12.2006 | | Autor: | Herby |
Hi,
wenn die Integralgrenze so stimmt, dann reicht auch die Begründung. Was das mit symmetrie zu tun hat, ist mir allerdings genauso schleierhaft, wie Marius. Solltest du in der Schule mehr erfahren, dann kannst du uns ja informieren und nicht ganz "unsicher" sterben lassen 
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 Do 07.12.2006 | | Autor: | vikin |
hallo,
kann es nicht mit folgendem zu tun haben?
also die sinx ist ja symmetrisch zu pi/2, da ist sie ja auch genau 1, sodass es dort ein hochpunkt hat. wenn man aber nun in der mitte teilt, sind ja beide seiten gleich.
naja, egal,
ja klar, ich werde eucj benachtrigen, wenn ich in der schule meine lehrerin gefragt habe,
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Do 07.12.2006 | | Autor: | chrisno |
Wo ist den da der Viertelkreis? Das braucht ein wenig Begründung. Mein Vorschlag: Denk Dir mal die Gerade f(x) = 1.
Dann siehst Du, dass die passenden Flächen über dem Grafen und darunter gleich groß sind. Das muß natürlich gezeigt werden. Am besten durch die Symmetrie der Funktion, sonst wäre ja wieder das Integral zu lösen. Tipp dazu: Punktsymmtrie an einem passenden Punkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 07.12.2006 | | Autor: | vikin |
hallo,
wie könnte ich die punktsymmetrie darauf anwenden, bitte?
vielleicht wenn ich pi/2 als die ah´chse nehme.
wirklich, îch komme ich leider nicht weiter.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Do 07.12.2006 | | Autor: | chrisno |
Nimm das Rechteck $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le \bruch{\pi}{2}$ [/mm] und $0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1$. Behauptung: der Graf der Funktion [mm] $(sin(x))^2$ [/mm] halbiert die Fläche dieses Rechtecks. Wenn die Behauptung bewisen ist, hast Du auch den Wert des Integrals.
Beweis druch Symmetrie: durch Rotation um den Mittelpunkt des Rechtecks wird der Graf der Funktion auf sich selbst abgebildet. Damit wird dann auch das Flächenstück unter der Kurve auf das Flächenstück über der Kurve abgebildet, sie sind also gleich groß. Für die Punktsymmetrie um den Mittelpunkt des Rechtecks mußt dur die Bedingung für Punktsymmtrie zum Ursprung in x und y verschieben.
Du mußt also etwas der Art f(x-z)+w = -f(-x-z)+w zeigen, die Vorzeichen habe ich einfach so eingestreut, dass aufzuräumen überlasse ich Dir.
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
ist halt nur ein viertel Einheitskreis 