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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 Do 22.02.2007 | | Autor: | AnAu |
| Aufgabe | | [mm] $\int\bruch{1}{1+2,0267*10^{24}*e^{-0,02809t}}\,\mathrm{d}t$ [/mm] |
Hallo,
Ich habe leider keinen Ansatz, wie ich dieses Integral lösen könnte.
Danke für Hilfe,
Andreas.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Do 22.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
die zu integrierende Funktion ist von der Form [mm] f(x)=\br{1}{1+ae^{bx}}
[/mm]
substituiere mal [mm] t=e^{ax} [/mm] dann sollte es gehen.
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 22.02.2007 | | Autor: | AnAu |
Dann wäre das doch [mm] $\bruch{1}{1+ae^{b*e^{ax}}}$, [/mm] oder?
Aber wie muss ich denn jetzt weiter vorgehen? Die Substitution haben wir nur mal kurz angeschnitten.
Dankeschön,
Andreas.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Do 22.02.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
[mm] \integral_{}^{}{\br{1}{1+ae^{bx}} dx} [/mm] ist zu berechnen
[mm] t=e^{bx} \Rightarrow [/mm] dt=bt*dx also
[mm] dx=\br{dt}{bt} \Rightarrow [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\br{1}{1+ae^{bx}} dx}=\integral_{}^{}{\br{1}{1+at} \br{1}{bt}dt} [/mm] also gleich
[mm] \br{1}{b}\integral_{}^{}{\br{1}{1+at} \br{1}{t}}dt=\br{1}{b}\integral_{}^{}\left(\br{-a}{1+at}+\br{1}{t}\right)=\br{1}{b}\left(-ln(1+at)+ln(t)\right)=\br{1}{b}ln\left(\br{t}{1+at}\right)=\br{1}{b}ln\left(\br{e^{bx}}{1+ae^{bx}}\right)
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Do 22.02.2007 | | Autor: | AnAu |
| Aufgabe | b) Gesucht ist eine Funktion $g$ vom Typ [mm] $g(t)=\bruch{a*S}{a+(S-a)*e^{-Skt}}$, [/mm] deren Graph die Daten aus a) (zur Weltbevölkerung) gut annähert. Setzen sie $t=0$ für das Jahr 1950, $a=2,56$ (in Mrd.) für den Anfangswert, $S=11$ (in Mrd.) als Sättigungsgrenze und $g(50)=6,08$ (in Mrd.). Berechnen Sie hiermit bei einem logistischen Ansatz die Konstante $k$.
c) Zeigen Sie, dass sich für [mm] $1950\le t\le [/mm] 2050$ näherungsweise die Funktion $g$ mit [mm] $g(t)=\bruch{11}{1+2,0267*10^{24}*e^{-0,02809t}}$ [/mm] ergibt. |
Hi noch mal,
Meine eigentliche Frage ist, wie ich auf die Funktion in c) komme. Die Funktion aus b) habe ich ohne Probleme herleiten können.
Die Fkt. aus b) lautet: [mm] $g(t)=\bruch{2,56*11}{2,56+(11-2,56)*e^{-11*0,00257*t}}$
[/mm]
Dankesehr,
Andreas.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 22.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Andreas
Da ich ja die daten nicht hab, aus denen du b geloest hast, kann ich nicht direkt helfen.
Wenn du deinen Exp. ausmultiplizierst, kommt dasselbe raus, wenn du Zaehler und Nenner allerdings durch 2,56 teilst, kommt vorn die gesuchte 1 aber die [mm] 10^{24} [/mm] ist nicht da
Allerdings ist die auch komisch, denn es hiesse ja [mm] g(t)\approx 10^{-24} [/mm] was ich zumindest mit g(50)=6 nicht verbinden kann!
Irgendwas an der Aufgabe muss falsch sein.
> b) Gesucht ist eine Funktion [mm]g[/mm] vom Typ
> [mm]g(t)=\bruch{a*S}{a+(S-a)*e^{-Skt}}[/mm], deren Graph die Daten
> aus a) (zur Weltbevölkerung) gut annähert. Setzen sie [mm]t=0[/mm]
> für das Jahr 1950, [mm]a=2,56[/mm] (in Mrd.) für den Anfangswert,
> [mm]S=11[/mm] (in Mrd.) als Sättigungsgrenze und [mm]g(50)=6,08[/mm] (in
> Mrd.). Berechnen Sie hiermit bei einem logistischen Ansatz
> die Konstante [mm]k[/mm].
>
> c) Zeigen Sie, dass sich für [mm]1950\le t\le 2050[/mm]
> näherungsweise die Funktion [mm]g[/mm] mit
> [mm]g(t)=\bruch{11}{1+2,0267*10^{24}*e^{-0,02809t}}[/mm] ergibt.
> Hi noch mal,
>
> Meine eigentliche Frage ist, wie ich auf die Funktion in c)
> komme. Die Funktion aus b) habe ich ohne Probleme herleiten
> können.
Ich seh den Unterschied zw. b und c nicht? liegt vielleicht an den mangelnden Daten?
Gruss leduart
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