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| Aufgabe | Berechnen Sie für n = 2, 3, 4 die Integrale
[mm] \integral_{o}^{\infty}{(\bruch{sin x}{x})^n dx} [/mm] |
Mein Problem ist, dass ich bei der Lösung des Integrals auf ein anderes Ergebnis komme, als es in der Musterlösung steht.
Also meine Rechnung für n=2 lautet.
[mm] \integral_{o}^{\infty}{(\bruch{sin x}{x})^2 dx} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{\(-infty}^{\infty}{(\bruch{sin x}{x})^2 dx}= [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{\(-infty}^{\infty}{(\bruch{sin z}{z})^2 dz}
[/mm]
Die einzige Singularität ist z=0
Deshalb baue ich einen Weg, der z=0 im Innern enthält.
A: [-1,1] [mm] \Rightarrow \IC
[/mm]
t [mm] \Rightarrow [/mm] t
B: [mm] [0,\pi] \Rightarrow \IC
[/mm]
t [mm] \Rightarrow \bruch{-i}{2}+e^{it}
[/mm]
Da z=0 eine hebbare Singularität ist, ist [mm] Res_{0}(f)=0 [/mm]
Dem Residuensatz gilt somit
[mm] \bruch{1}{2}\int_{A,B}^{A,B} \(\bruch{sin z}{z}^2)\, [/mm] dz = [mm] 2\pii*Res_{0}(f) [/mm] = 0
und somit [mm] \int_{0}^{\infty} \(\bruch{sin x}{x}^2)\, [/mm] dx = 0
Da bei allen weiteren Aufgaben (n=3,4,5) die Funktion hebbare Singularitäten in 0 aufweist und somit [mm] Res_{0}(f)=0 [/mm] für alle n gilt, ergeben sich die weiteren Ergebnisse
[mm] \int_{0}^{\infty} \(\bruch{sin x}{x})^n\, [/mm] dx = 0 für alle n=3,4,5
Laut Musterlösung sollen aber die folgenden Ergebnisse rauskommen:
für n=2 [mm] \Rightarrow \bruch{\pi}{2}
[/mm]
für n= 3 [mm] \Rightarrow \bruch{3\pi}{8}
[/mm]
für n= 4 [mm] \Rightarrow \bruch{\pi}{3}
[/mm]
--- Wo liegt mein Fehler? Vielen Dank schon im Voraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 06.09.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie für n = 2, 3, 4 die Integrale
>
> [mm]\integral_{o}^{\infty}{(\bruch{sin x}{x})^n dx}[/mm]
>
> Mein Problem ist, dass ich bei der Lösung des Integrals
> auf ein anderes Ergebnis komme, als es in der Musterlösung
> steht.
>
> Also meine Rechnung für n=2 lautet.
>
> [mm]\integral_{o}^{\infty}{(\bruch{sin x}{x})^2 dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{\(-infty}^{\infty}{(\bruch{sin x}{x})^2 dx}=[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{\(-infty}^{\infty}{(\bruch{sin z}{z})^2 dz}[/mm]
>
> Die einzige Singularität ist z=0
>
> Deshalb baue ich einen Weg, der z=0 im Innern enthält.
> A: [-1,1] [mm]\Rightarrow \IC[/mm]
> t [mm]\Rightarrow[/mm] t
> B: [mm][0,\pi] \Rightarrow \IC[/mm]
> t [mm]\Rightarrow \bruch{-i}{2}+e^{it}[/mm]
Da verstehe ich nicht, was du machst. Der Weg A ist die Strecke vom Punkt -1 zum Punkt 1, der Weg B ein Halbkreis vom Radius 1 um den Punkt $-i/2$, mit Anfangspunkt $1-i/2$ und Endpunkt $-1-i/2$. Wie kannst du diese beiden Wege zu einem geschlossenen Weg zusammensetzen?
> Da z=0 eine hebbare Singularität ist, ist [mm]Res_{0}(f)=0[/mm]
Einverstanden.
>
> Dem Residuensatz gilt somit
>
> [mm]\bruch{1}{2}\int_{A,B}^{A,B} \(\bruch{sin z}{z}^2)\,[/mm] dz =
> [mm]2\pii*Res_{0}(f)[/mm] = 0
Wie gesagt: A und B zusammen ergeben keinen geschlossenen Weg.
Hättest du einen (beliebigen) geschlossenen Weg, so wäre das Kurvenintegral über [mm] $\left(\bruch{\sin z}{z}\right)^2$ [/mm] in der Tat 0, weil diese Funktion in [mm] $\IC\backslash\{0\}$ [/mm] holomorph ist und, wie du korrekt festgestellt hast, in 0 eine hebbare Singularität besitzt.
> und somit [mm]\int_{0}^{\infty} \left(\bruch{\sin x}{x}\right)^2\,dx = 0[/mm]
Eine ganz einfache Betrachtung zeigt dir, dass dieses Ergebnis nicht stimmen kann:
[mm] \left(\bruch{\sin x}{x}\right)^2 \ge 0 [/mm] für alle [mm] $x\in \IR [/mm] $,
also muss auch das Integral [mm] $\ge [/mm] 0 sein. Nun ist aber
[mm] \left(\bruch{\sin x}{x}\right)^2 \ge \bruch{8}{\pi^2} [/mm] für [mm] $x\in [-\pi/4,+\pi/4]$, [/mm]
und daher
[mm] \integral_{-\pi/4}^{+\pi/4} \left(\bruch{\sin x}{x}\right)^2 \, dx \ge \bruch{\pi}{2} * \bruch{8}{\pi^2} = \bruch{4}{\pi} [/mm].
Damit kann das Integral über ganz [mm] $\IR$ [/mm] nicht 0 sein.
Um den Residuensatz anwenden zu können, brauchst du erst einmal einen geschlossenen Weg, der etwas mit dem gesuchten Integral zu tun hat. Der übliche Trick besteht darin, zunächst das Integral
[mm] \integral_{-R}^{+R} \left(\bruch{\sin x}{x}\right)^2 \, dx [/mm]
für positives reelles R zu berechnen, und dann den Grenzwert [mm] $R\to\infty$ [/mm] zu bilden. Damit hast du schon den Teil A deines Weges, nämlich die Strecke von $-R$ bis $+R$. (Dies ist hier möglich, da der Integrand nur hebbare Singularitäten besitzt. Gäbe es eine Singularität auf der reellen Achse, müsstest du deinen Weg anders wählen, damit die Singularität nicht auf dem Weg liegt.)
Also:
[mm] A: [-R,R] \Rightarrow \IC[/mm], [mm] t \mapsto t [/mm]
Nun musst du diesen Weg schließen. Du wolltest das mit einem Halbkreis tun. Wir brauchen also einen Halbkreis, der bei $+R$ anfängt und bei $-R$ endet; dies ist ein Halbkreis um den Punkt 0, wobei du entweder oberhalb oder untehalb der reellen Achse schließen kannst:
[mm] B: [0,\pi] \Rightarrow \IC[/mm], [mm] t \mapsto R e^{\pm it} [/mm]
(positives Vorzeichen im Exponenten bedeutet den oberen, das negative den unteren Hablkreis.)
Das funktioniert aber hier nicht, weil die Sinusfunktion auf [mm] $\IC$ [/mm] nicht beschränkt ist, und daher das Integral über den Halbkreis im Limes [mm] $R\to\infty$ [/mm] divergiert. Wenn du dir das Integral über den Weg B anschaust:
[mm] \integral_B \left(\bruch{\sin z}{z}\right)^2 dz = \integral_{0}^{\pi} \bruch{\sin^2(R *e^{ it})}{R^2 e^{2it}} iR e^{it} \,dt = \bruch{i}{R} \integral_{0}^{\pi}\sin^2(R *e^{ it}) e^{-it} \, dt [/mm]
und versuchst, den Sinus umzuformen, dann siehst du mit [mm] $\sin [/mm] z = [mm] \bruch{1}{2i} (e^{iz} [/mm] - [mm] e^{-iz})$ [/mm] und daher mit $z=R [mm] *e^{ it} [/mm] = [mm] R\cos [/mm] t +iR [mm] \sin [/mm] t$:
[mm] \sin(R *e^{ it}) = \bruch{1}{2i} (e^{iR\cos t} e^{-R\sin t} - e^{-iR\cos t} e^{R\sin t}) [/mm] .
Und das geht für [mm] $R\to\infty$ [/mm] gegen Unendlich.
Nein, der Trick hier ist, statt des Integrals [mm] \integral_{-\infty}^{+\infty} \bruch{\sin^2 x}{x^2}\,dx [/mm] das Integral
[mm] \integral_{-\infty}^{+\infty}\bruch{1-e^{2ix}}{x^2}\,dx [/mm]
zu untersuchen, denn wegen
[mm] \mathop{\mathrm{Re}} \bruch{e^{2ix}}{x^2} = \bruch{\cos(2x)}{x^2} = \bruch{1-2\sin^2x}{x^2}[/mm]
kannst du das gesuchte Integral daraus ableiten.
Als geschlossenen Integrationsweg nimmt man ein Quadrat, und zwar mit den Eckpunkten $-R$, $+R$, $R+2iR$, $-R+2iR$.
Damit handelt man sich aber ein neues Problem ein: die Singularität bei z=0 ist jetzt ein Pol, nicht hebbar. Um das zu umgehen, ändert man den Integrationsweg ein wenig ab, sodass er einen winzigen Schlenker um den Pol herum macht.
Eine detaillierte Erklärung findest du in vielen Vorlesungen und Büchern, z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier, Beispiel 1.81.
Viele Grüße
Rainer
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