Integral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 So 09.09.2012 | | Autor: | lichti |
| Aufgabe | | Man berechne [mm] \integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] die Verbindungsstrecke des Punktes 0 mit dem Punkt 1+i ist. |
Hallo erstmal,
ich versuche gerad mich auf eine mündliche Prüfung vorzubereiten und hab als Vorbereitungsaufgabe unter anderem diese gefunden.
Frage: Kann ich das Integral sinnvoll ausrechnen ohne die Reihendarstellung von e zu benutzen? Also sozusagen direkt.
Meine erste Idee war den Residuensatz anzuwenden, aber damit komme ich nicht vorran. Ist schon ne weile her, dass wir das gemacht haben. Aber wenn ich mich richtig erinnere darf ich die Verbindungsstrecke direkt als Integrationsgrenze verwenden. Also
[mm] \integral_{0}^{1+i}{z exp(z^2) dz} [/mm] ausrechnen?!?
mit freundlichen Grüßen,
Lichti
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lichti,
> Man berechne [mm]\integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz[/mm] wobei [mm]\gamma[/mm]
> die Verbindungsstrecke des Punktes 0 mit dem Punkt 1+i
> ist.
> Hallo erstmal,
>
> ich versuche gerad mich auf eine mündliche Prüfung
> vorzubereiten und hab als Vorbereitungsaufgabe unter
> anderem diese gefunden.
>
> Frage: Kann ich das Integral sinnvoll ausrechnen ohne die
> Reihendarstellung von e zu benutzen? Also sozusagen
> direkt.
>
> Meine erste Idee war den Residuensatz anzuwenden, aber
> damit komme ich nicht vorran. Ist schon ne weile her, dass
> wir das gemacht haben. Aber wenn ich mich richtig erinnere
> darf ich die Verbindungsstrecke direkt als
> Integrationsgrenze verwenden. Also
>
> [mm]\integral_{0}^{1+i}{z exp(z^2) dz}[/mm] ausrechnen?!?
>
Ja, wobei Du den Weg von 0 nach 1+i parametrisieren musst.
> mit freundlichen Grüßen,
> Lichti
>
> ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 So 09.09.2012 | | Autor: | lichti |
Hallo Mathepower,
ok, das heißt ich wähle als parametrisierung [mm] \gamma [/mm] (t) = t+it mit 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
und darf dann aus:
[mm] \integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t+it}{z exp(z^2)}dz [/mm] machen?
Wie kann ich dann weitermachen? Mein ziel wäre ja die reihendarstellung von exp zu umgehen, da das in einer mündlichen Prüfung glaub ich zu lange dauern würde...
Hab schon versuch den Residuensatz anzuwenden, macht aber wenig sinn ohne Singularitäten.
Kann ich die Cauchyformel für Ableitungen benutzen? Wir hatten die in der Form: [mm] f^{(n)}(z)=\bruch{n!}{2i\pi}\integral_{r=|z-z_0|}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz}
[/mm]
wenn ja, wie biege ich dann meine gerade [mm] \gamma [/mm] in einen Kreis um und was ist dementsprechend [mm] z_0 [/mm] ?
Tut mir leid für die dummen Fragen, ich merke gerad wirklich raus, dass ich 2 monate lang nix für mathe gemacht hab und auch in meinen aufzeichnungen nicht mehr durchsehe. evt. sollte ich mir einfach n buch schnappen und nochmal ganz von vorn anfangen.
vielen dank schonmal, lichti
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Hallo lichti,
> Hallo Mathepower,
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> ok, das heißt ich wähle als parametrisierung [mm]\gamma[/mm] (t) =
> t+it mit 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le[/mm] 1
>
> und darf dann aus:
>
> [mm]\integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz[/mm] = [mm]\integral_{0}^{t+it}{z exp(z^2)}dz[/mm]
> machen?
>
Für z mußt Du natürlich auch [mm]t+it[/mm] einsetzen.
Dementsprechend ist auch das Differential dz zu ersetzen.
Dann lautet das zu berechnende Integral:
[mm]\integral_{0}^{1}{z\left(t\right)*e^{z^{2}\left(t\right)} \ dz\left(t\right)}[/mm]
> Wie kann ich dann weitermachen? Mein ziel wäre ja die
> reihendarstellung von exp zu umgehen, da das in einer
> mündlichen Prüfung glaub ich zu lange dauern würde...
>
> Hab schon versuch den Residuensatz anzuwenden, macht aber
> wenig sinn ohne Singularitäten.
>
In der Tat, das mach wenig Sinn.
> Kann ich die Cauchyformel für Ableitungen benutzen? Wir
> hatten die in der Form:
> [mm]f^{(n)}(z)=\bruch{n!}{2i\pi}\integral_{r=|z-z_0|}{\bruch{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}} dz}[/mm]
>
> wenn ja, wie biege ich dann meine gerade [mm]\gamma[/mm] in einen
> Kreis um und was ist dementsprechend [mm]z_0[/mm] ?
>
> Tut mir leid für die dummen Fragen, ich merke gerad
> wirklich raus, dass ich 2 monate lang nix für mathe
> gemacht hab und auch in meinen aufzeichnungen nicht mehr
> durchsehe. evt. sollte ich mir einfach n buch schnappen und
> nochmal ganz von vorn anfangen.
>
> vielen dank schonmal, lichti
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 09.09.2012 | | Autor: | lichti |
Hey Mathepower,
danke für die Antwort. Hab heute keinen Kopf mehr das noch auszurechnen, aber wenn ich mich nicht komplett verguckt hab schreit das ganze nach partieller Integration.
Werd das morgen zuende machen. Wenn nix weiter von mir kommt bin ich glücklich über die erhaltene Hilfe und ein Stück wissender.
mfg Lichti
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$ [mm] \integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz [/mm] $ = [mm] \bruch{1}{2}exp(z^2).
[/mm]
Du solltest als Fortgeschrittener "sehen", dass die e-Fkt. eine innere Fkt. [mm] z^2 [/mm] enthält, deren Ableitung 2*z ist.
Hilft das?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Mo 10.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}exp(z^2).[/mm]
So ist das nicht richtig, denn [mm] \integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz [/mm] ist eine komplexe Zahl.
Du meinst sicher, dass [mm] \bruch{1}{2}exp(z^2) [/mm] eine Stammfunktion von z [mm] exp(z^2) [/mm] ist
FRED
>
> Du solltest als Fortgeschrittener "sehen", dass die e-Fkt.
> eine innere Fkt. [mm]z^2[/mm] enthält, deren Ableitung 2*z ist.
>
> Hilft das?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:17 Mo 10.09.2012 | | Autor: | fred97 |
f(z)=z [mm] exp(z^2) [/mm] besitzt eine Stammfunktion F. Wie lautet eine solche ?
Ist a der Anfangspunkt von [mm] \gamma [/mm] und b der Enpunkt, so ist
$ [mm] \integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz [/mm] =F(b)-F(a)$
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:37 Mo 10.09.2012 | | Autor: | lichti |
> f(z)=z [mm]exp(z^2)[/mm] besitzt eine Stammfunktion F. Wie lautet
> eine solche ?
mit dem zaunpfahl von HJKweseleit ist F(z)= [mm] \bruch{1}{2}ze^{z^2}
[/mm]
> Ist a der Anfangspunkt von [mm]\gamma[/mm] und b der Enpunkt, so
> ist
>
> [mm]\integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz =F(b)-F(a)[/mm]
und damit [mm] \integral_{\gamma}{ze^{z^2} dz}= \bruch{1}{2}ze^{z^2} [/mm] in den grenzen 0 bis 1+i.
also [mm] \bruch{1}{2}(1+i)e^{(1+i)^2}
[/mm]
> FRED
vielen dank an alle helfer, lichti
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:52 Mo 10.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> > f(z)=z [mm]exp(z^2)[/mm] besitzt eine Stammfunktion F. Wie lautet
> > eine solche ?
>
> mit dem zaunpfahl von HJKweseleit ist F(z)=
> [mm]\bruch{1}{2}ze^{z^2}[/mm]
Das stimmt nicht, sondern [mm] \bruch{1}{2}e^{z^2}
[/mm]
FRED
>
>
> > Ist a der Anfangspunkt von [mm]\gamma[/mm] und b der Enpunkt, so
> > ist
> >
> > [mm]\integral_{\gamma}{z exp(z^2)}dz =F(b)-F(a)[/mm]
>
> und damit [mm]\integral_{\gamma}{ze^{z^2} dz}= \bruch{1}{2}ze^{z^2}[/mm]
> in den grenzen 0 bis 1+i.
>
> also [mm]\bruch{1}{2}(1+i)e^{(1+i)^2}[/mm]
>
> > FRED
>
>
> vielen dank an alle helfer, lichti
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