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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Do 03.01.2013 | | Autor: | Mooish |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das folgende Integral [mm] \integral_{-1}^{1}{(\bruch{x+1}{2})^2*\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}}dx} [/mm] |
Wie muss ich vorgehen, um dieses Integral berechnen zu können? Ich habe versucht eine Partialbruchzerlegung durchzuführen, wobei ich wegen der Wurzel nicht weiter gekommen bin.
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{x^2+2x+1}{4*\wurzel{1-x^2}} dx}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Mooish,
ich habe es nicht ganz durchgerechnet, aber folgendes scheint zu funktionieren:
Betrachte das Integral ohne Grenzen, also [mm]\int{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2\cdot{}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \ dx}[/mm] und integriere partiell mit
[mm]u(x)=\left(\frac{x+1}{2}\right)^2[/mm] und [mm]v'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/mm]
Das führt zu [mm]\underbrace{\left(\frac{x+1}{2}\right)^2}_{u(x)}\cdot{}\underbrace{\arcsin(x)}_{v(x)} \ - \ \int{\underbrace{\frac{x+1}{2}}_{u'(x)}\cdot{}\underbrace{\arcsin(x)}_{v(x)} \ dx}[/mm]
Das hintere Integral kannst du aufteilen in [mm]-\frac{1}{2}\cdot{}\int{x\cdot{}\arcsin(x) \ dx}-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\arcsin(x) \ dx}[/mm]
Letzteres kannst du wieder partiell erschlagen:
[mm]\arcsin(x)=1\cdot{}\arcsin(x)[/mm] usw.
Und das andere Integral sollte mit partieller Integration gefolgt von einer Substitution zu knacken sein ...
Das habe ich aber (noch) nicht zuende gerechnet und komme auch erst später dazu ....
Schau mal, ob dir das was hilft ..
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 03.01.2013 | | Autor: | Mooish |
Hallo schachuzipus,
Danke für deine Antwort!
Ich habe versucht deine Berechnungen fortzuführen und bin soweit gekommen:
[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{x+1}{2})^2*\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm] = [mm] (\bruch{x+1}{2})^2 [/mm] * arcsin(x) $ [mm] -\frac{1}{2}\cdot{}\int{x\cdot{}\arcsin(x) \ dx}-\frac{1}{2}\cdot{}\int{\arcsin(x) \ dx} [/mm] $
[mm] -\frac{1}{2}\cdot{}\int{\arcsin(x) \ dx} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}*(x*arcsin(x)+\wurzel{1-x^2})
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] \integral_{}^{}{(\bruch{x+1}{2})^2*\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm] = [mm] (\bruch{x+1}{2})^2 [/mm] * arcsin(x) $ [mm] -\frac{1}{2}\cdot{}\int{x\cdot{}\arcsin(x) \ dx}-\frac{1}{2}*(x*arcsin(x)+\wurzel{1-x^2}) [/mm] $
Neues u(x) = x und neues v'(x) = arcsin(x)
Das führt zu $ [mm] \underbrace{x}_{u(x)}\cdot{}\underbrace{x*arcsin(x)+\wurzel{1-x^2}}_{v(x)} [/mm] \ - \ [mm] \int{\underbrace{1}_{u'(x)}\cdot{}\underbrace{x*arcsin(x)+\wurzel{1-x^2}}_{v(x)} \ dx} [/mm] $
Somit haben wir jetzt:
[mm] \int{(\bruch{x+1}{2})^2*\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx} [/mm] = [mm] (\bruch{x+1}{2})^2 \cdot{} [/mm] arcsin(x) [mm] -\frac{1}{2}*(x*x*arcsin(x)+\wurzel{1-x^2}-\int{1*x*arcsin(x)+\wurzel{1-x^2} dx}) -\frac{1}{2}*(x*arcsin(x)+\wurzel{1-x^2})
[/mm]
Bei diesem Integral komme ich nicht mehr weiter: [mm] \int{1*x*arcsin(x)+\wurzel{1-x^2}dx} [/mm]
Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
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Hallo,
> Habe ich irgendwo einen Fehler gemacht?
schwierig zu sagen. Auf jeden Fall ist dein Ansatz mit partieller Integration IMO nicht zielführend.
Probiere mal
[mm]\integral{\bruch{(x+1)^2}{\wurzel{1-x^2}} dx}=\integral{\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}} dx}+\integral{\bruch{2x}{\wurzel{1-x^2}} dx}+\integral{\bruch{1}{\wurzel{1-x^2}} dx}[/mm]
Das erste Integral knackst du mit der Substitution
x=sin(u)
Das zweite ebenfalls per Substitution, die ist aber naheliegend.
Das dritte schlussendlich ist ein elementares Integral.
So, und nun nochmal: auch wenn da bei den gegebenen Schranken nachher beim Einsetzen etwas endliches herauskommt, man darf es streng genommen nicht einfach so hinschreiben wie gewohnt!
Es handelt sich auf der rechten Seite zumindest um ein uneigentliches Integral, man sollte also am besten zunächst eine variable Schranke einführen und die von links gegen 1 streben lassen, auch wenn das hier nur eine formale Sache ist.
Gruß, Diophant
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Hallo,
als Zusatz noch kurz: beachte auch, dass das Auffinden der Stammfumktion hier nicht das einzige Problem ist. Wegen der Schranken handelt es sich nämlich um ein uneigentliches Integral.
Gruß, Diophant
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