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Hallo,
ich möchte
[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{1}{\wurzel{\wurzel{x}+1}}dx
[/mm]
berechnen.
Das habe ich mit Substitution gemacht:
[mm] s=\wurzel{x}
[/mm]
[mm] =2\integral_{0}^{1}\bruch{s}{\wurzel{s+1}}ds
[/mm]
t=s+1
[mm] =2\integral_{0}^{1}\bruch{t-1}{\wurzel{t}}dt
[/mm]
[mm] =2\integral_{0}^{1} \wurzel{t} [/mm] dt - [mm] 2\integral_{0}^{1} \bruch{1}{\wurzel{t}} [/mm] dt
[mm] =\bruch{4}{3}(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-4\wurzel{\wurzel{x}+1} |_0 [/mm] ^1
[mm] =-\bruch{4}{3}\wurzel{2}+\bruch{8}{3}
[/mm]
Stimmt das?? Ich glaube ich habe da irgendwo einen Fehler gemacht?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 Di 01.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Anna,
Du hast 2 Fehler gemacht:
1. bei der Substitution t = s+1 hast Du die Integrationsgrenzen nicht mtsubstituiert, die neuen grenzen sind 1 und 2.
2. Bei der Stammfunktion
$ [mm] =\bruch{4}{3}(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-4\wurzel{\wurzel{x}+1} |_0 [/mm] $
hast Du Dich kräftig verhauen. Wie Du darauf kommst ist mir nicht klar.
FRED
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:51 Di 01.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo fred
Mit dem ersten Punkt hast du recht, aber da Anna rücksubstituiert, spielt das für das Endergebnis keine Rolle.
Gruss leduart
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| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 14:09 Di 01.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Leduart, Du hast recht
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Di 01.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Du kommst hier auch mit einer Substitution aus, wenn Du zu Beginn wählst:
$$u \ := \ [mm] \wurzel{x}+1$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Di 01.07.2008 | | Autor: | konvex |
hi,
substituiere im 2.schritt mal t= [mm] \wurzel{s+1}.
[/mm]
dann läuft das besser und hast dann das integral
4 [mm] \integral_{0}^{1}{t^2-1 dt}
[/mm]
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Di 01.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Integrationsgrenzen sind falsch !
FRED
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Hallo,
vielen DANK für Eure Antworten!!
Dass mit den Integrationsgrenzen war mir gerade schon selbst aufgefallen.
Aber ich komme dennoch nicht so recht weiter. Ich habe jetzt den Tipp
von Loddar genommen und substituiere mit
s = [mm] \wurzel{x}+1
[/mm]
Dann gibt das ja
2 [mm] \integral_{1}^{2}\bruch{s-1}{\wurzel{2}} [/mm] ds
= 2 [mm] \integral_{1}^{2}\wurzel{s} [/mm] ds - [mm] 2\integral_{1}^{2}\bruch{1}{\wurzel{s}}
[/mm]
[mm] =\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 2\integral_{1}^{2}\bruch{1}{\wurzel{s}} [/mm] ds
Stimmt das soweit noch?
Danke,
Anna
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Hallo Anna-Lyse!
Ich sehe keinen Fehler! 
Nur noch den 2. Teil integrieren, Grenzen einsetzen.....dann bist du fertig.
In diesem Fall brauchst du nicht mehr resubstituieren.
2. Möglichkeit:
Du weißt sicher, dass es auch möglich ist, die Integrationsgrenzen nicht zu beachten, sondern erst die Stammfunktion des unbstimmten Integrals durch Substitution zu ermitteln, dann Resubstitution zu machen, und erst zum Schluss die anfänglichen Grenzen einsetzen. So bleibt dir die Transformation der Grenzen bei der Substitution erspart.
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
DANKE für Deine Antwort!
Also dann weiter:
[mm] =\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 2\integral_{1}^{2}\bruch{1}{\wurzel{s}} [/mm] ds
[mm] =\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{s} |_1 [/mm] ^2
[mm] =\bruch{4}{3}*(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}} -4\wurzel{\wurzel{x}+1} |_0 [/mm] ^1
Hm, damit komme ich schon wieder da hin wo ich war, was nicht stimmte.
Aber das Integral von [mm] \bruch{1}{\wurzel{s}} [/mm] ist doch [mm] 2\wurzel{s} [/mm] ?
Wo liegt hier mein Denkfehler?
Gruß,
Anna
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Hallo Ana-Lyse!
Ja, die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] ist [mm] 2\wurzel(x)+C!
[/mm]
Aber da du die Grenzen bei der Substitution mittransformiert hast, brauchst du nicht mehr resubstituieren. Sondern einfach die Grenzen in die substituierte Stammfunktion einsetzen .....
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> In diesem Fall brauchst du nicht mehr resubstituieren.
achso! Also
[mm] =\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{s} |_1 [/mm] ^2
[mm] =[\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{1}] [/mm]
Reicht das so?
Danke,
Anna
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Hallo Ana-Lyse!
Entschuldige wenn ich dich mit den "2 Methoden" verwirrt habe!Sorry!
Alles richtig!
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Di 01.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Anna
>
> Der Wert wäre doch dann
> [mm]=[\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}}[/mm]
> - [mm]4\wurzel{1}][/mm] ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
>
> Ich überlege außerdem, wie man von
> [mm]\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{s} |_1[/mm] ^2
> auf die Stammfunktion kommt? Denn die ist doch
> [mm]\bruch{4}{3}(x+1)^{\bruch{3}{4}}[/mm] ?
Wie kommst du auf die Stammfkt? im ersten Post hattest du die richtige!
Die hier ist sicher falsch, wie du leicht durch Differenzieren feststellen kannst!
[mm] \wurzel{1} [/mm] sollte man immer gleich durch 1 ersetzen,
[mm] 2^{\bruch{3}{2}} [/mm] durch [mm] 2*2^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
Schade, dass dich die vielen posts so verwirrt haben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:23 Di 01.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo leduart,
> Wie kommst du auf die Stammfkt? im ersten Post hattest du
> die richtige!
> Die hier ist sicher falsch, wie du leicht durch
> Differenzieren feststellen kannst!
> [mm]\wurzel{1}[/mm] sollte man immer gleich durch 1 ersetzen,
> [mm]2^{\bruch{3}{2}}[/mm] durch [mm]2*2^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> Schade, dass dich die vielen posts so verwirrt haben!
ja, ich war jetzt in der Tat etwas verwirrt (eben weil ich immer wieder auf
meine Ausgangsrechnung zurück gekommen bin). Aber diese ist ja doch
so richtig (bis auf den Formfehler beim Substituieren).
Also vereinfache ich
[mm] [\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{1}] [/mm]
noch zu
[mm] [\bruch{8}{3}*2^{\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] 4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3} [/mm] - 4]
Und dann ist das so OK, oder kann man bzw. sollte man das noch weiter
vereinfachen?
Vielen Dank für Deine Antwort!!
Gruß,
Anna
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> Also vereinfache ich
> [mm][\bruch{4}{3}*2^{\bruch{3}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}*1^{\bruch{3}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{1}][/mm]
> noch zu
> [mm][\bruch{8}{3}*2^{\bruch{1}{2}}[/mm] - [mm]4\wurzel{2}] -[\bruch{4}{3}[/mm] - 4]
>
> Und dann ist das so OK, oder kann man bzw. sollte man das
> noch weiter
> vereinfachen?
hallo Anna,
solch ein Ergebnis sollte man bestimmt noch vereinfachen !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Di 01.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Al-Chwarizmi,
> solch ein Ergebnis sollte man bestimmt noch vereinfachen !
ja, Du / Ihr habt Recht. In meiner Anfangsrechnung (wo ich
zurück substituiert hatte) habe ich es auch vereinfacht.
Danke,
Anna
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Hallo Anna
> Und dann ist das so OK, oder kann man bzw. sollte man das
> noch weiter
> vereinfachen?
Als ich davor gesagt habe du sollst jetzt nur mehr den Wert des Integrals berechnen, habe ich mich etwas falsch ausgedrückt. Ich habe gemeint, du könntest noch etwas vereinfachen. So kommst du auf den Wert [mm] \approx [/mm] 0.781.
Du hast die Stammfunktion gleich Anfangs richtig berechnet. So hättest du einfach die änfanglichen Grenzen 0 und 1 einsetzen brauchen und du wärest auf das selbe Ergebniss gekommen.(Andere Methode)
[mm] [\bruch{4}{3}(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-4\wurzel{\wurzel{x}+1} ]_0^1=[\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}}-4*\wurzel{s}]_1^2
[/mm]
LG
Angelika
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Di 01.07.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angelika,
> Als ich davor gesagt habe du sollst jetzt nur mehr den Wert
> des Integrals berechnen, habe ich mich etwas falsch
> ausgedrückt. Ich habe gemeint, du könntest noch etwas
> vereinfachen. So kommst du auf den Wert [mm]\approx[/mm] 0.781.
>
> Du hast die Stammfunktion gleich Anfangs richtig berechnet.
> So hättest du einfach die änfanglichen Grenzen 0 und 1
> einsetzen brauchen und du wärest auf das selbe Ergebniss
> gekommen.(Andere Methode)
>
> [mm][\bruch{4}{3}(\wurzel{x}+1)^{\bruch{3}{2}}-4\wurzel{\wurzel{x}+1} ]_0^1=[\bruch{4}{3}*s^{\bruch{3}{2}}-4*\wurzel{s}]_1^2[/mm]
>
Ja, so war mir das auch klar.
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:49 Di 01.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Anna
Auch schon deine erste Rechnung war richtig. Nur die eine Zeile, in der du die Grenzen bei t falsch drangeschrieben hast war formal falsch. da du bdann rücksubstituiert hast, war das Ergebnis richtig. dein neues ebenso, wenn du es noch vereinfachst!
Schreib in Zukunft einfach an das substituierte Integral die Grenzen z.Bsp t(0) und t(1) dran.
Gruss leduart
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