Integral beweisen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Do 11.08.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, liebe Helferinnen und Helfer!
Ich benötige mal wieder Euren guten Rat, bitte.
Und zwar ist Folgendes zu zeigen, wobei [mm]a,b[/mm] positive reelle Zahlen sein sollen:
[mm]\int_0^{2\pi}\frac{1}{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}dt=\frac{2\pi}{ab}[/mm] |
Nachdem ich mich erst vor kurzem mit dem Residuensatz befasst habe, habe ich die starke Vermutung, dass man diesen hier anwenden soll?
Ist das okay?
|
|
| |
|
Hallo mikexx,
> Hallo, liebe Helferinnen und Helfer!
>
> Ich benötige mal wieder Euren guten Rat, bitte.
>
> Und zwar ist Folgendes zu zeigen, wobei [mm]a,b[/mm] positive reelle
> Zahlen sein sollen:
>
> [mm]\int_0^{2\pi}\frac{1}{a^2\cos^2t+b^2\sin^2t}dt=\frac{2\pi}{ab}[/mm]
> Nachdem ich mich erst vor kurzem mit dem Residuensatz
> befasst habe, habe ich die starke Vermutung, dass man
> diesen hier anwenden soll?
>
> Ist das okay?
Ja, das ist eine Möglichkeit.
Das Integral ist ja von der Form [mm]\int\limits_{0}^{2\pi}{R(\cos(t),\sin(t)) \ dt}[/mm] mit [mm]R[/mm] eine rationale Funktion.
Dafür gibt es bekannte Ansätze über den Residuensatz.
Alternativ kannst du [mm]\frac{1}{z}[/mm] mal entlang des Ellipsenrandes [mm]\gamma(s)=a\cdot{}\cos(s)+ib\cdot{}\sin(s)[/mm] integrieren ...
(Letzteres ist nicht meine Idee  )
Die Aufgabe nebst Lösung findet sich in dem Buch "Repetitorium der Funktionentheorie" vom BINOMI-Verlag, S.316, 11.3 Aufg. B 4) ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 12.08.2011 | | Autor: | mikexx |
> Alternativ kannst du [mm]\frac{1}{z}[/mm] mal entlang des
> Ellipsenrandes [mm]\gamma(s)=a\cdot{}\cos(s)+ib\cdot{}\sin(s)[/mm]
> integrieren ...
Wenn ich das tue, so erhalte ich, daß
[mm]\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz=2\pi i[/mm].
Jetzt muß ich das Integral, das eigentlich gesucht ist, irgendwie auf dieses berechnete Integral zurückführen. Ich komme jedoch gerade nicht darauf, wie.
Ein kleiner Hinweis wäre nett.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Alternativ kannst du [mm]\frac{1}{z}[/mm] mal entlang des
> > Ellipsenrandes [mm]\gamma(s)=a\cdot{}\cos(s)+ib\cdot{}\sin(s)[/mm]
> > integrieren ...
>
> Wenn ich das tue, so erhalte ich, daß
>
> [mm]\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz=2\pi i[/mm].
Hmm, das ergibt sich doch mit dem Residuensatz.
Nun berechne mal das Kurvenintegral [mm]\int\limits_{\gamma}^{}{\frac{1}{z} \ dz}=\int\limits_{0}^{2\pi}{\frac{1}{\gamma(s)}\cdot{}\gamma'(s) \ ds}[/mm]
>
> Jetzt muß ich das Integral, das eigentlich gesucht ist,
> irgendwie auf dieses berechnete Integral zurückführen.
> Ich komme jedoch gerade nicht darauf, wie.
>
> Ein kleiner Hinweis wäre nett.
Ok
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
