Integral dx dy < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Do 24.01.2013 | | Autor: | saendra |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Hey ihr! Ich weiß es kostet wenige Augenblicke es sich anzuschauen, aber ich hoffe trotzdem jemand hilft mir: Gegeben ist
$f:[0,1]\times [0,1]\to \IR,\quad (x,y)\mapsto \begin{cases} 2^{2k}, & \text{wenn }k\in \IN\quad \text{mit }\ 2^{-k}<x\leq 2^{1-k}\ \text{ und}\quad 2^{-k}<y\leq 2^{1-k}\\ -2^{2k+1}, & \text{wenn }k\in \IN\quad \text{mit }\ 2^{-k}<x\leq 2^{1-k}\ \text{ und}\quad 2^{-k-1}<y\leq 2^{-k} \\ 0 & \text{sonst }\end{cases}$
Sehr schöne funktion, ich weiß 
Nun soll ich $\integral_{0}^{1} \left( \integral_{0}^{1}{f(x,y)\; dx}\right) dy$ berechnen. |
Ist das die richtige Vorgehensweise?:
$ \integral_{0}^{1} \left( \integral_{0}^{1}{f(x,y)\; dx}\right) dy = \integral_{(2^{-k},\; 2^{1-k}]}\left (\; \integral_{(2^{-k},\; 2^{1-k}]} 2^{2k}\; dx\right) dy\ +\, \integral_{(2^{-k-1},\; 2^{-k}]}\left (\; \integral_{(2^{-k},\; 2^{1-k}]} -2^{2k+1}\; dx\right) dy\ +\, \underbrace{\integral_{[0,\; 2^{-k-1}]\dot{\cup} (2^{-k},\; 1]}\left (\; \integral_{[0,\; 2^{-k}]\dot{\cup} (2^{1-k},\; 1]} 0\; dx\right) dy}_{=0}$
Liebe Grüße
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Hiho,
> Nun soll ich [mm]\integral_{0}^{1} \left( \integral_{0}^{1}{f(x,y)\; dx}\right) dy[/mm]
> berechnen.
> Ist das die richtige Vorgehensweise?:
Das kann man so nicht sagen, ohne zu wissen, was du gemacht hast.
Aber zumindest sieht das Ergebnis richtig aus
Aber es einfach direkt als Doppelintegral hinzuschreiben, halte ich für schwierig.
Ich vermute einfach mal, die Aufgabe ist dafür da um ein Gefühl für Fubini zu bekommen?
Ich würde auch für einen möglichen Korrektor noch ein paar Zwischenschritte einbauen.
Wenn du das dx-Integral berechnen willst, ist dein y in f(x,y) ja beliebig, aber fest, so dass du deine Funktion dann umschreiben kannst in:
$f(x,y) = [mm] f(x,y)*1_{\left(2^{-k},2^{-k+1}\right]}(y) [/mm] + [mm] f(x,y)*1_{\left(2^{-k-1},2^{-k}\right]}(y)$
[/mm]
Den Zwischenschritt würde ich schon noch einbauen, damit man es besser sieht.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 So 27.01.2013 | | Autor: | saendra |
Hi Gono,
sry, dass ich erst jetzt antworte, aber es hat 2 Tage gedauert, bis ich das endlich umsetzen konnte. Es war eine sehr schwere Geburt, aber ich denke mit deinem Tipp habe ich es dann richtig hinbekommen.
Vielen Dank dafür!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 30.01.2013 | | Autor: | saendra |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi nochmals! Eine Sache habe ich vergessen. Ich muss davor noch zeigen, dass $ \integral_{0}^{1} \left( \integral_{0}^{1}{f(x,y)\; dx}\right) dy $ überhaupt existiert.
Wie mache ich das? Hier nochmals die Funktion:
$ f:[0,1]\times [0,1]\to \IR,\quad (x,y)\mapsto \begin{cases} 2^{2k}, & \text{wenn }k\in \IN\quad \text{mit }\ 2^{-k}<x\leq 2^{1-k}\ \text{ und}\quad 2^{-k}<y\leq 2^{1-k}\\ -2^{2k+1}, & \text{wenn }k\in \IN\quad \text{mit }\ 2^{-k}<x\leq 2^{1-k}\ \text{ und}\quad 2^{-k-1}<y\leq 2^{-k} \\ 0 & \text{sonst }\end{cases} $
Weiß jemand, wie man das zeigt? Dass $f$ auf $[0,1]^2$ Riemann-integierbar ist habe ich gezeigt. Aber daraus folgt nicht die Existenz dieses obigen Integrals oder? Sondern nur dieses Integrals: $ \integral_{[0,1]^2} {f(x,y)\; d(x,y) $ oder? Ist da vielleicht Fubini anwendbar?
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Hallo saendra,
> Hi nochmals! Eine Sache habe ich vergessen. Ich muss davor
> noch zeigen, dass [mm]\integral_{0}^{1} \left( \integral_{0}^{1}{f(x,y)\; dx}\right) dy[/mm]
> überhaupt existiert.
>
> Wie mache ich das? Hier nochmals die Funktion:
>
> [mm]f:[0,1]\times [0,1]\to \IR,\quad (x,y)\mapsto \begin{cases} 2^{2k}, & \text{wenn }k\in \IN\quad \text{mit }\ 2^{-k}
>
>
> Weiß jemand, wie man das zeigt? Dass [mm]f[/mm] auf [mm][0,1]^2[/mm]
> Riemann-integierbar ist habe ich gezeigt. Aber daraus folgt
> nicht die Existenz dieses obigen Integrals oder? Sondern
> nur dieses Integrals: [mm]\integral_{[0,1]^2} {f(x,y)\; d(x,y)[/mm]
> oder? Ist da vielleicht Fubini anwendbar?
Na, ![[]](/images/popup.gif) lies doch mal. Hast Du alle Vorbedingungen erfüllt?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 30.01.2013 | | Autor: | saendra |
Hi reverend! Danke.
Nein, leider habe ich nicht alle erfüllt. Mit dem Vorschlag Fubini wollte ich eigentlich nur zeigen, dass ich mir bei der Aufgabe auch Gedanken gemacht habe und nicht einfach nur auf die Lösung warte...
Weißt du wie ich die Existenz zeigen kann?
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Hallo nochmal,
komisch, dass keiner antwortet...
> Hi reverend! Danke.
Das war doch nur ein Link und eine Frage.
> Nein, leider habe ich nicht alle erfüllt. Mit dem
> Vorschlag Fubini wollte ich eigentlich nur zeigen, dass ich
> mir bei der Aufgabe auch Gedanken gemacht habe und nicht
> einfach nur auf die Lösung warte...
>
> Weißt du wie ich die Existenz zeigen kann?
Nicht erfüllt ist die Stetigkeit, alles andere passt doch.
Kannst Du das Integrationsgebiet in stetige Bereiche unterteilen? In denen würde Fubini jeweils für sich gelten. Dann bliebe nur noch das Problem, wie man das zusammenfügt.
Die Existenz des gesuchten Integrals wäre so jedenfalls noch relativ leicht nachzuweisen.
Grüße
reverend
PS: Ich finde gerade nirgends, wie man zeigt, dass Fubini in stetigen Bereichen gilt, die nicht allein durch kompakte Intervalle zu beschreiben sind. Kann jemand bestätigen, dass das gilt - und kann es jemand zeigen (oder einen Beweis verlinken)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 30.01.2013 | | Autor: | saendra |
Hi. Danke, aber es ist okay, am Montag bekommen wir die Lösung.
Danke euch nochmals!
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