Integral einer Betragsfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Fr 13.03.2009 | | Autor: | sharth |
| Aufgabe | Die Stammfunktion von folgender Funktion mit den Grenzen von [mm] [0;2\pi] [/mm] ist zu bilden
[mm] $f(x)=|x^2-4|*cos(x)$ [/mm] |
Guten Abend,
leider kenne ich die Aufgabenstellung nicht mehr genau, aber die Aufgabe ist denke ich trotzdem klar.
Der Betrag macht mir Probleme. Ich weiß überhaupt nicht wie ich ansetzen soll. Wie ein Betrag funktioniert ist mir klar, aber damit ist für mich diese Aufgabe nicht lösbar. Hoffe ihr habt ein paar Tipps für mich
Viele Grüße,
sharth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Fr 13.03.2009 | | Autor: | chrisno |
Leg doch mal los, ohne die Betragsfunktion. Für welche x hast Du dann die Stammfunktion?
Dann bestimme die Stammfunktion, wenn das Argument der Betragsfunktion negativ wird, du also [mm] $4-x^2$ [/mm] hinschreiben kannst.
Damit hast Du schon mal eine abschnittsweise definierte Stammfunktion. Dann schauen wir mal weiter.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 13.03.2009 | | Autor: | sharth |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort.
> Leg doch mal los, ohne die Betragsfunktion. Für welche x
> hast Du dann die Stammfunktion?
$ [mm] f(x)=(x^2-4)\cdot{}cos(x) [/mm] $
Also ich weiß leider nicht genau was du damit meinst?! Bei x=2 und x=-2
ist f(x) = 0.
> Dann bestimme die Stammfunktion, wenn das Argument der
> Betragsfunktion negativ wird, du also [mm]4-x^2[/mm] hinschreiben
> kannst.
$ [mm] f(x)=(4-x^2)\cdot{}cos(x) [/mm] $
Hier ist es genauso.
Sorry, hab leider noch nicht ganz geschnallt wie ich vorgehen muss. Wollte von Nullstelle zu Nullstelle integrieren, jedoch finde ich nur zwei, obwohl es denke ich mehrere geben muss...
Gruß,
sharth
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> Hallo,
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> vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> > Leg doch mal los, ohne die Betragsfunktion. Für welche x
> > hast Du dann die Stammfunktion?
>
> [mm]f(x)=(x^2-4)\cdot{}cos(x)[/mm]
>
> Also ich weiß leider nicht genau was du damit meinst?! Bei
> x=2 und x=-2
> ist f(x) = 0.
>
> > Dann bestimme die Stammfunktion, wenn das Argument der
> > Betragsfunktion negativ wird, du also [mm]4-x^2[/mm] hinschreiben
> > kannst.
>
> [mm]f(x)=(4-x^2)\cdot{}cos(x)[/mm]
>
> Hier ist es genauso.
> Sorry, hab leider noch nicht ganz geschnallt wie ich
> vorgehen muss. Wollte von Nullstelle zu Nullstelle
> integrieren, jedoch finde ich nur zwei, obwohl es denke ich
> mehrere geben muss...
>
> Gruß,
>
> sharth
Das macht ja nix, aber er hatte das anders gemeint! :)
Eine allgemeine kurze Einfhrung. Nimm dir das einfachste Beispiel:
$ f(x)=|x| $
Den Graphen solltest du kennen, doch wie geht das mathematisch? Was bedeuten die Betragsstriche? Das nur der Betrag, also die Entfernung von 0, zählt und keine Vorzeichen. das wäre für positive Werte kein Problem, denn 1 ist dasselbe wie |1|=1. Aber für negative Zahlen gilt dies nicht mehr, denn -1 ist nicht |-1|=1. Was passiert also mit der -1? Sie wird mit -1 multipliziert! Ihr vorzeichen wird durch die Betragsstriche umgekehrt.
Daher gilt $ f(x)=|x| $ mit $ [mm] f(x)=\begin{cases} x, & \mbox{für } x\ge0 \\ -x, & \mbox{für } x<0 \end{cases} [/mm] $
Damit hast du eine Funktion, die jedoch versch. Bedingungen enthält und damit abschnittsweise definiert ist! Für den Abschnitt [mm] [-\infty;0[ [/mm] gilt die Funktion f(x)=-x, damit werden alle negativen Zahlen zu postiven, ansonsten gilt auf [mm] [0;\infty] [/mm] die Funktion f(x).
Richtig ist, dass du immer schauen musst, wo der Term 0 wird, denn 0 ist die magische Grenze, ab der negative Zahlen umgekehrt werden müssen, für deine Funktion [mm]f(x)=(x^2-4)\cdot{}cos(x)[/mm] bedeutet das, dass wir eine Fallunterscheidung ab x=2 und ab x=-2 vornehmen müssen, weil [mm] 2^2-4 [/mm] und [mm] (-2)^2-4, [/mm] wie du richtig gesagt hast, 0 ergibt. Daher gilt, dass die Funktion [mm]f(x)=(x^2-4)\cdot{}cos(x)[/mm] für x-Werte größer gleich 2 gilt sowie kleiner gleich -2, denn ab dann sind die Zahlen positiv. Für Zahlen zwischen 2 und -2 jedoch muss die Funktion [mm]f(x)=(-x^2+4)\cdot{}cos(x)[/mm] lauten!
Und für diese Fälle erstellst du jetzt eine Stammfunktion, so dass du am Ende schreiben kannst:
$ [mm] F(x)=|\integral_{}^{}{f(x)dx}| [/mm] $ mit $ [mm] f(x)=\begin{cases} \integral_{}^{}{f(x)=(x^2-4)\cdot{}cos(x) dx}, & \mbox{für } x\le-2 \mbox{und} x\ge2 \\\integral_{}^{}{f(x)=(-x^2+4)\cdot{}cos(x) dx}, & \mbox{für } -2
Probe:
Du solltest erhalten:
$ [mm] 2x*cos(x)+(x^2-4)*sin(x)-2sin(x) [/mm] $ für den positiven Teil und
$ [mm] -2x*cos(x)-(x^2-4)*sin(x)+2sin(x) [/mm] $ für den negativen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Sa 14.03.2009 | | Autor: | sharth |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Adamantin,
das war mal 'ne suuper Erklärung, danke dafür.
Denke ich habe es jetzt verstanden. Nun zu meinen Ergebnissen.
Da von 0-2\pi integriert werden soll, habe ich die neg. x-Werte vernachlässigt. Zunächst die Stammfunktionen
1.$\integral_{0}^{2}(4-x^2)*cosx dx}$ für $x<2$
2.$\integral_{2}^{2\pi}(x^2-4)*cosx dx}$ für $x>2$
Zu1.) $[(4-x^2)*sin(x)-2x*cos(x)+2*sin(x)]_0^2$ = 3,48
Zu2.) $[(x^2-4)*sin(x)+2x*cos(x)-2*sin(x)]_2^{2\pi}$= 12,57-(-3,48)
\Rightarrow 12,57+2*3,48 = 19.53 FE
So, ich hoffe das ich nicht totalen Mist gebaut habe und der Weg einigermaßen stimmt. Freue mich auf eure Antworten/Korrekturen.
Gruß,
sharth
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Hallo sharth,
> Hallo Adamantin,
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> das war mal 'ne suuper Erklärung, danke dafür.
> Denke ich habe es jetzt verstanden. Nun zu meinen
> Ergebnissen.
> Da von [mm]0-2\pi[/mm] integriert werden soll, habe ich die neg.
> x-Werte vernachlässigt. Zunächst die Stammfunktionen
>
> 1.[mm]\integral_{0}^{2}(4-x^2)*cosx dx}[/mm] für [mm]x<2[/mm]
> 2.[mm]\integral_{2}^{2\pi}(x^2-4)*cosx dx}[/mm] für [mm]x>2[/mm]
>
> Zu1.) [mm][(4-x^2)*sin(x)-2x*cos(x)+2*sin(x)]_0^2[/mm]
[mm] $\red{=(6-x^2)\sin(x)-2x\cos(x)}$
[/mm]
> = 3,48 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu2.) [mm][(x^2-4)*sin(x)+2x*cos(x)-2*sin(x)]_2^{2\pi}[/mm]
[mm] $\red{=(x^2-6)\sin(x)+2x\cos(x)}$
[/mm]
> = 12,57-(-3,48)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 12,57+2*3,48 = 19.53 FE
>
> So, ich hoffe das ich nicht totalen Mist gebaut habe und
> der Weg einigermaßen stimmt. Freue mich auf eure
> Antworten/Korrekturen.
Du hast alles richtig gemacht!
>
> Gruß,
>
> sharth
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Sa 14.03.2009 | | Autor: | sharth |
Vielen Dank für eure Hilfe bei dieser Aufgabe!
Kann ich eigentlich eine Diskussion als beendet erklären, oder geht das automatisch?
Viele Grüße,
sharth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Sa 14.03.2009 | | Autor: | Adamantin |
Sobald eine Frage beantwortet wird, wird sie automatisch ja grün und grün bedeutet beantwortet und daher erscheint die Diskussion auch nicht mehr als offen. Erst wenn du eine neue Frage dazu stellst, so dass wieder ein roter Beitrag zu lesen ist, oder du selbst die Frage, bzw. ein Moderator, auf teilweise oder ganz offen stellst, erscheint sie noch in der Suche und Übersicht. Also ist sie momentan finito :)
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