Integral einer Wurzel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
Hallo,
ich muss (um die Länge einer Kurve zu berechenen) folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{2-2cos(x)} dx}
[/mm]
Ich hab schon versucht zu substituieren, aber dazu muss ja die innere Ableitung nochmal außen stehen. Die wäre ja 2sin(x), und da hab ich ja immer noch ein x drin. Ich darf das also nicht vors Integral ziehen.
Partielle Integration geht auch nicht, dazu bräuchte ich ja ein Produkt. Manchmal kann man ja einfach eine 1 hochintegrieren, aber in dem Fall bringt das auch nix, weil die Wurzel dann immernoch im Integral ist.
Ich könnte ja aber [mm] \wurzel{2} [/mm] rausziehen, dann hätt ich nur noch [mm] \wurzel{1-cos(x)} [/mm] im Integral, aber wie ich das integrieren soll, weiß ich auch nicht.
Danke schonmal für eure Hilfe.
Viele Grüße
Leia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Leia!
Es gilt: [mm] $\sin\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{2-2*\cos(x)}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
Erst mal vielen Dank für die Antwort.
Hab aber noch zwei Fragen dazu:
1. Kann man das irgendwie begründen/herleiten, dass diese Beziehung so gilt?
2. Wenn ich das dann so mache und dann substituiere, kommt raus, dass mein Integral von sin(0) bis [mm] sin(2\pi) [/mm] geht. Also ist es ja Null. Das kann aber nicht sein, da ich eine Kurve hab, die einen Halbkreis zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] beschreibt und der kann nicht die Länge Null haben.
Viele Grüße
Leia
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> Erst mal vielen Dank für die Antwort.
> Hab aber noch zwei Fragen dazu:
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> 1. Kann man das irgendwie begründen/herleiten, dass diese
> Beziehung so gilt?
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> 2. Wenn ich das dann so mache und dann substituiere, kommt
> raus, dass mein Integral von sin(0) bis [mm]sin(2\pi)[/mm] geht.
> Also ist es ja Null. Das kann aber nicht sein, da ich eine
> Kurve hab, die einen Halbkreis zwischen 0 und [mm]2\pi[/mm]
> beschreibt und der kann nicht die Länge Null haben.
>
> Viele Grüße
> Leia
Hallo Leia,
1. Die Begründung der Formel, die dir Loddar angegeben hat, stützt sich
auf das Additionstheorem ( Formel für [mm] cos(\alpha+\beta) [/mm] ) bzw.
auf die Doppelwinkelformel für den Cosinus. Ersetze dort den drin
vorkommenden Winkel durch [mm] \bruch{x}{2} [/mm] .
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2* sin(\bruch{x}{2}) dx} [/mm] gibt nach meiner Rechnung 8
(hast du die Substitution richtig durchgeführt? innere Ableitung beachten...)
Gruß al-Ch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
hmm, also 8 ist ein tolles Ergebnis:)
Ich weiß aber nicht, was ich bei meiner Substitution falsch gemacht hab:
Ich hab ja dann das Integral
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2sin(\bruch{x}{2}) dx}
[/mm]
Zum substituieren brauch ich ja im Integral die Form
g'(x)*f(g(x)) und mit g(x)=u ist das dann
[mm] \integral_{a}^{b}{f(u) du}
[/mm]
Also hab ich 4 vors Integral gezogen, damit dasteht
[mm] 4\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{1}{2}sin\bruch{x}{2} dx}
[/mm]
Dann hab ich [mm] \bruch{x}{2}=u [/mm] substituiert, womit sich ja auch die Intervallgrenzen verschieben:
[mm] \integral_{sin(0)}^{sin2\pi}{sin(u) du}
[/mm]
Und die Intervallgrenzen ergeben beide 0 :(
Viele Grüße
Leia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
Kommando zurück. Ich hab die Intervallgrenzen falsch berechnet. Allerdings hab ich jetzt ein anderes Problem: Ich bekomme jetzt -8 raus und zwar so:
[mm] 4\integral_{0}^{\pi}{sin(u) du}=-cos(0)+cos\pi=-8
[/mm]
Mir ist schon klar, dass das bedeuten würde, dass die Fläche zwischen Graph und x-Achse dann unterhalb der x-Achse liegen würde. Das tut sie aber nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Leia!
Du musst schon "obere Grenze" minus "untere Grenze" rechnen ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
Ach ja klar. So was kann auch wieder nur mir passieren.
Vielen Dank euch beiden für die ausgezeichnete Nachhilfe
Viele Grüße und noch einen schönen Abend!
Leia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Leia!
Nach der Substitution $u \ := \ [mm] \bruch{x}{2}$ [/mm] lauten Deine neuen Integrationsgrenzen:
[mm] $$u_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{0}{2} [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$u_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2\pi}{2} [/mm] \ = \ [mm] \pi$$
[/mm]
Und nach der Integration setzt Du diese in die Stammfunktion ein.
Damit erhalten wir:
$$... \ = \ [mm] 4*\left[ \ -\cos(u) \ \right]_0^\pi [/mm] \ = \ [mm] 4*\left[ -\cos\pi-(-\cos 0)\right] [/mm] \ = \ 4*[-(-1)-(-1)] \ = \ 4*2 \ = \ 8$$
Gruß
Loddar
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