Integral einer Wurzel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
Ich hoffe, ich bin jetzt nicht unverschämt, wenn ich für ein weiteres Integral eure Zeit beanspruche...
Nachdem mir hier so super geholfen wurde, habt ihr vielleicht nochmal so einen tollen Tipp.
Und zwar muss ich jetzt das Integral von
[mm] \wurzel{5x²+1} [/mm] berechnen.
Gibts da vielleicht auch so eine schöne Umformung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:42 Do 01.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Leia!
Beginne hier mit partieller Integration für [mm] $\wurzel{5x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] 1*\wurzel{5x^2+1}$ [/mm] und wähle $u' \ := \ 1$ sowie $v \ := \ [mm] \wurzel{5x^2+1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
Das hab ich schon versucht.
Bei partieller Integration hab ich ja die Formel
[mm] \integral_{a}^{b}{f*g}=F*g-\integral_{a}^{b}{F*g'}
[/mm]
Wenn ich für f die 1 nehme und für g meine Wurzel, dann bekomme ich
[mm] x*\wurzel{5x²+1} [/mm] (ausgewertet an den Intervallgrenzel) - [mm] \integral_{a}^{b}{x*\bruch{10x}{2\wurzel{5x²+1}} dx}
[/mm]
Und ich bekomme wieder eine Wurzel im Integral...
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Hallo Leia,
> Das hab ich schon versucht.
> Bei partieller Integration hab ich ja die Formel
> [mm]\integral_{a}^{b}{f*g}=F*g-\integral_{a}^{b}{F*g'}[/mm]
>
> Wenn ich für f die 1 nehme und für g meine Wurzel, dann
> bekomme ich
> [mm]x*\wurzel{5x²+1}[/mm] (ausgewertet an den Intervallgrenzel) -
> [mm]\integral_{a}^{b}{x*\bruch{10x}{2\wurzel{5x²+1}} dx}[/mm]
>
> Und ich bekomme wieder eine Wurzel im Integral...
Probier es mal mit der Subsitution
[mm]x=\bruch{1}{\wurzel{5}}*\sinh\left(t\right)[/mm]
[mm]dx=\bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
Meinst du jetzt bei dem zweiten Integral, also nach der partiellen Integration, oder gleich von Anfang an?
Ich hab noch nie mit sinh oder cosh gerechnet und ich weiß ehrlich gesagt nicht, was die jetzt mir der Wurzel zu tun haben.
Ich brauche doch für Substitution die Form
[mm] \integral_{a}^{b}{g'(x)f(g(x)) dx}
[/mm]
Da substituiere ich dann g(x) durch [mm] \phi(x) [/mm] und bekomme dann
[mm] \integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{\phi(x) dx}
[/mm]
Aber dazu brauch ich doch erst mal die Form...
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Hallo Leia,
> Meinst du jetzt bei dem zweiten Integral, also nach der
> partiellen Integration, oder gleich von Anfang an?
Ich meine natürlich gleich von Anfang an.
>
> Ich hab noch nie mit sinh oder cosh gerechnet und ich weiß
> ehrlich gesagt nicht, was die jetzt mir der Wurzel zu tun
> haben.
[mm]\integral_{}^{}{\wurzel{5x^{2}+1}\ dx}[/mm]
Substitution:
[mm]x=\bruch{1}{\wurzel{5}}*\sinh\left(t\right)[/mm]
[mm]dx = \bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh\left(t\right) \ dt[/mm]
Dann ergibt sich:
[mm]\integral_{}^{}{\wurzel{5x^{2}+1}\ dx}=\integral_{}^{}{\wurzel{5\left(\bruch{1}{\wurzel{5}}*\sinh\left(t\right) \right)^{2}+1} \ \bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh\left(t\right) \ dt}[/mm]
[mm]=\integral_{}^{}{\wurzel{\sinh^{2}\left(t\right)+1} \ \bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh\left(t\right) \ dt}=\integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh^{2}\left(t\right) \ dt}[/mm]
Und gemäß ![[]](/images/popup.gif) Additionstheoremen läßt sich das umschreiben:
[mm]\integral_{}^{}{ \bruch{1}{\wurzel{5}}*\cosh^{2}\left(t\right) \ dt}=\bruch{1}{2*\wurzel{5}}*\integral_{}^{}{1+\cosh\left(2t\right) \ dt}[/mm]
>
> Ich brauche doch für Substitution die Form
> [mm]\integral_{a}^{b}{g'(x)f(g(x)) dx}[/mm]
> Da substituiere ich
> dann g(x) durch [mm]\phi(x)[/mm] und bekomme dann
> [mm]\integral_{\phi(a)}^{\phi(b)}{\phi(x) dx}[/mm]
>
> Aber dazu brauch ich doch erst mal die Form...
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Do 01.05.2008 | | Autor: | Leia |
Vielen Dank für die Hilfe
Viele Grüße
Leia
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