Integral eines Vektorfeldes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Di 10.01.2012 | | Autor: | Olga1234 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral des Vektorfeldes:
[mm] \vec{v} [/mm] : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3},
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] \ to [mm] \vektor{3x^{2}-6yz \\ 3xy-3xz \\ 7z^{2}x} [/mm] entlang des Graphen z = [mm] x^{2}, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,2] in der Ebene y = 1. |
Die Definition des Integral eines Vektorfeldes ist ja
[mm] \integral_{}^{\gamma}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{ dt}
[/mm]
Ist [mm] \gamma [/mm] in meinem Fall z = [mm] x^{2}?
[/mm]
Wie komme ich auf die Grenzen a und b? Ist a=0 und b=2 wegen der Einschränkung des x?
Woher bekomme ich das t? Ist das y=1?
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Hallo,
Das [mm] \gamma [/mm] ist ein beliebiger differenzierbarer Weg, d.h. eine Abbildung von einem Intervall [mm]I\subseteq \IR[/mm] nach [mm]\IR^3[/mm], welcher die Punkte [mm]y=0, x^2=z, 0\le x\le 2[/mm] durchläuft.
Das a und b ergibt sich erst dann aus der Wahl des Weges [mm]\gamma[/mm].
lg rammstein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Das [mm]\gamma[/mm] ist ein beliebiger differenzierbarer Weg,
Unfug !!
> d.h.
> eine Abbildung von einem Intervall [mm]I\subseteq \IR[/mm] nach
> [mm]\IR^3[/mm],
> welcher die Punkte [mm]y=0, x^2=z, 0\le x\le 2[/mm]
> durchläuft.
Was soll das denn bedeuten ? Es ist immer y=1 !!
> Das a und b ergibt sich erst dann aus der Wahl des Weges
> [mm]\gamma[/mm].
Quatsch ! Oben steht doch: x [mm] \in [/mm] [0,2], y=1 und [mm] z=x^2
[/mm]
Also ist a=0 und b=2
FRED
>
> lg rammstein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Di 10.01.2012 | | Autor: | rammstein |
Hallo Fred,
vielleicht war meine Antwort ein bisschen missverständlich: Tatsächlich reicht es mit einem beliebigen (stetig differenzierbaren) weg vom Punkt [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] entlang des beschrieben Pfades zum Endpunkt [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] zu kommen. Es gibt viele Wege, die das erfüllen. Bei Wahl eines anderen Weges ändert sich dann i.A. auch das a bzw. b.
lg rammstein
p.s. es sollte natürlich y=1 heißen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> vielleicht war meine Antwort ein bisschen
> missverständlich: Tatsächlich reicht es mit einem
> beliebigen (stetig differenzierbaren) weg vom Punkt
> [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] entlang des beschrieben Pfades zum
> Endpunkt [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] zu kommen.
Das stimmt nicht.
1. f besitzt auf [mm] \IR^3 [/mm] keine Stammfunktion, damit ist das Integral nicht wegunabhängig.
2. Der Endpunkt des Weges ist nicht [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] , sondern [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 4}[/mm]
FRED
> Es gibt viele
> Wege, die das erfüllen. Bei Wahl eines anderen Weges
> ändert sich dann i.A. auch das a bzw. b.
>
> lg rammstein
>
> p.s. es sollte natürlich y=1 heißen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 Di 10.01.2012 | | Autor: | rammstein |
ad 1)
Wegunabhändigkeit ist dafür nicht notwendig. Wenn f wegunabhängig wäre, wäre es VOLLKOMMEN egal, wie man vom Anfang zum Ende kommt. Das ist hier zwar nicht der Fall, aber wenn zwei Wege sich stetig differenzierbar auf dem selben Pfad bewegen, und selben Anfangs und Enpunkt haben, (also z.b. äquivalente Wege sind) kommt IMMER das selbe Wegintegral heraus. Dazu braucht man keine wegunabhängigkeit. Daher auch die Phrase "entlang des beschrieben Pfades".
Die Angabe sagt auch nichts darüber aus, wie der Weg konkret zu wählen ist, nur der Pfad auf dem er sich bewegen soll ist vorgegeben.
ad 2) Stimmt.
liebe grüße, rammstein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:38 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> ad 1)
> Wegunabhändigkeit ist dafür nicht notwendig. Wenn f
> wegunabhängig wäre, wäre es VOLLKOMMEN egal, wie man vom
> Anfang zum Ende kommt.
Das ist mir bekannt ! Danke für die Belehrung.
> Das ist hier zwar nicht der Fall,
> aber wenn zwei Wege sich stetig differenzierbar auf dem
> selben Pfad bewegen, und selben Anfangs und Enpunkt haben,
> (also z.b. äquivalente Wege sind) kommt IMMER das selbe
> Wegintegral heraus.
Ja genau, das ist der Knackpunkt ! Wenn 2 Wege äquivalent sind liefern sie dasselbe Wegintegral.
Es gibt aber auch nicht äquivalente Wege. Was machst Du dann ?
FRED
> Dazu braucht man keine
> wegunabhängigkeit. Daher auch die Phrase "entlang des
> beschrieben Pfades".
>
> Die Angabe sagt auch nichts darüber aus, wie der Weg
> konkret zu wählen ist, nur der Pfad auf dem er sich
> bewegen soll ist vorgegeben.
>
> ad 2) Stimmt.
>
> liebe grüße, rammstein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Di 10.01.2012 | | Autor: | Olga1234 |
Hmm... also muss ich mir aus z = [mm] x^{2}, [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,2] und y=1 eine Funktion basteln und die da einsetzen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:55 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hmm... also muss ich mir aus z = [mm]x^{2},[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,2] und y=1
> eine Funktion basteln und die da einsetzen?
Die Antwort von rammstein ist fehlerhaft.
Ich hab Dir geschrieben, wie [mm] \gamma [/mm] ausschaut.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Integral des Vektorfeldes:
>
> [mm]\vec{v}[/mm] : [mm]\IR^{3} \to \IR^{3},[/mm]
> [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] \ to
> [mm]\vektor{3x^{2}-6yz \\ 3xy-3xz \\ 7z^{2}x}[/mm] entlang des
> Graphen z = [mm]x^{2},[/mm] x [mm]\in[/mm] [0,2] in der Ebene y = 1.
> Die Definition des Integral eines Vektorfeldes ist ja
>
> [mm]\integral_{}^{\gamma}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{a}^{b}{ dt}[/mm]
>
> Ist [mm]\gamma[/mm] in meinem Fall z = [mm]x^{2}?[/mm]
> Wie komme ich auf die Grenzen a und b? Ist a=0 und b=2
> wegen der Einschränkung des x?
> Woher bekomme ich das t? Ist das y=1?
Es ist $ [mm] \gamma(t)= \vektor{t \\ 1 \\ t^2}$ [/mm] für $t [mm] \in [/mm] [0,2]$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Di 10.01.2012 | | Autor: | Olga1234 |
| Aufgabe | | Bei einer anderen Aufgabe muss ich das Kurvenintegral eines Vektorfeldes über den Einheitskreis um 0 in der x-z-Ebene berechnen. |
Es gilt dann ja [mm] x^{2}+z^{2}= [/mm] 1 und y=0
Ich bin mir noch nicht sicher, ob ich es richtig verstanden habe.
Wäre dann [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \vektor{t \\ 0 \\ \wurzel{1-t^{2}}}?
[/mm]
Und was wären in dem Fall a und b?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Di 10.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bei einer anderen Aufgabe muss ich das Kurvenintegral eines
> Vektorfeldes über den Einheitskreis um 0 in der x-z-Ebene
> berechnen.
> Es gilt dann ja [mm]x^{2}+z^{2}=[/mm] 1 und y=0
>
> Ich bin mir noch nicht sicher, ob ich es richtig verstanden
> habe.
>
> Wäre dann [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\vektor{t \\ 0 \\ \wurzel{1-t^{2}}}?[/mm]
Nein. Damit bekommst Du nur ewinen Halbkreis
>
> Und was wären in dem Fall a und b?
Es ist [mm] \gamma(t)= \vektor{cos(t) \\ 0 \\ sin(t)} [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi]
[/mm]
FRED
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