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Integral für Treppenfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Mi 05.04.2017
Autor: X3nion

Hallo! :-)

Gerade eben habe ich einen Thread zu dem Beweis erstellt, dass die Menge aller Treppenfunktionen ein Untervektorraum der Menge aller reeller Funktionen ist.

Nun habe ich Fragen zum Integral für Treppenfunktionen.
Im Forster ist es wie folgt definiert:

Sei [mm] \phi \in \tau[a,b] [/mm] definiert bzgl. der Unterteilung

a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b

und sei [mm] \phi [/mm] | [mm] ]x_{k-1}, x_{k}[ [/mm] = [mm] c_{k} [/mm] für k = 1, ..., n. Dann setzt man

[mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n} c_{k}(x_{k} [/mm] - [mm] x_{k-1}) [/mm]


Nun steht zur Definition noch eine Bemerkung:

Damit das Integral [mm] \integral_{a}^{b}{\phi(x) dx} [/mm] einer Treppenfunktion wohldefiniert ist, muss man streng genommen noch zeigen, dass die Definition unabhängig von der Unterteilung ist. Es seien

Z: a = [mm] x_0 [/mm] < [mm] x_1 [/mm] < ... < [mm] x_n [/mm] = b

Z': a = [mm] t_0 [/mm] < [mm] t_1 [/mm] < ... < [mm] t_m [/mm] = b.

zwei Unterteilungen, auf deren offenen Teilintervallen [mm] \phi [/mm] konstant ist, und zwar sei

[mm] \phi [/mm] | [mm] ]x_{i-1}, x_{i}[ [/mm] = [mm] c_{i}, \phi [/mm] | [mm] ]t_{j-1}, x_{j}[ [/mm] = [mm] c_{j}'. [/mm]

Wir setzen zur Abkürzung

[mm] \integral{Z}^{}{\phi} [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}), [/mm]

[mm] \integral{Z'}^{}{\phi} [/mm] := [mm] \summe_{j=1}^{m} c_{j}'(t_{j} [/mm] - [mm] x_{j-1}). [/mm]

Zu zeigen ist, dass [mm] \integral{Z}^{}{\phi} [/mm] = [mm] \integral{Z'}^{}{\phi}. [/mm]

1. Fall: Jeder Teilpunkt von Z sei auch Teilpunkt von Z', etwa [mm] x_{i} [/mm] = [mm] t_{k_{i}}. [/mm] Dann gilt:

[mm] x_{i-1} [/mm] = [mm] t_{k_{i-1}} [/mm] < [mm] t_{k_{i-1}+1} [/mm] < ... <  [mm] t_{k_{i}} [/mm] = [mm] x_{i} [/mm] (1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n),

und [mm] c_{j}' [/mm] = [mm] c_{i} [/mm] für [mm] k_{i-1} [/mm] < j [mm] \le k_{i}. [/mm] Daraus folgt

[mm] \integral_{Z'}^{}{\phi} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \summe_{j=k_{i-1} + 1}^{k_{i}} c_{i}(t_{j} [/mm] - [mm] t_{j-1}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} c_{i}(x_{i} [/mm] - [mm] x_{i-1}) [/mm] = [mm] \integral_{Z}^{}{\phi} [/mm]

2. Fall: Seien Z und Z' beliebig und sei Z* die Unterteilung, die alle Teilpunkte von Z und Z' umfasst. Dann gilt nach dem 1. Fall

[mm] \integral_{Z}^{}{\phi} [/mm] = [mm] \integral_{Z^{\*}}^{}{\phi} [/mm] = [mm] \integral_{Z'}^{}{\phi} [/mm]


-------

Nun zu meinen Fragen

1) Wieso gilt [mm] c_{j}' [/mm] = [mm] c_{i} [/mm] für [mm] k_{i-1} [/mm] < j [mm] \le k_{i} [/mm] ?
Mir ist klar, dass gemäß Voraussetzung [mm] ]x_{i-1}, x_{i}[ [/mm] = [mm] c_{i} [/mm] und | [mm] ]t_{j-1}, x_{j}[ [/mm] = [mm] c_{j}', [/mm] aber wieso steht hier kein Intervall sondern ein Index j für den [mm] c_{j}' [/mm] = [mm] c_{i}, [/mm] und wieso heißt es eben für [mm] k_{i-1} [/mm] < j [mm] \le k_{i} [/mm] und nicht beide Male [mm] k_{i-1} [/mm] < j < [mm] k_{i} [/mm] oder [mm] k_{i-1} \le [/mm] j [mm] \le k_{i}? [/mm]

2) Ist dies eine Anwendung des 1. Falls, da jeder Teilpunkt von Z auch Teilpunkt von Z* ist und deshalb gilt [mm] \integral_{Z}^{}{\phi} [/mm] = [mm] \integral_{Z^{\*}}^{}{\phi} [/mm]

und weil jeder Teilpunkt von Z' auch Teilpunkt von Z* ist, gilt [mm] \integral_{Z^{\*}}^{}{\phi} [/mm] = [mm] \integral_{Z'}^{}{\phi} [/mm]

und somit gilt insgesamt die Gleichheitskette

[mm] \integral_{Z}^{}{\phi} [/mm] = [mm] \integral_{Z^{\*}}^{}{\phi} [/mm] = [mm] \integral_{Z'}^{}{\phi}? [/mm]



Wie immer dankbar für eure Antworten,

X3nion


        
Bezug
Integral für Treppenfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mi 05.04.2017
Autor: leduart

Hallo
ich denke bei deiner Mitschrift ist was falsch,
es muss [mm] \Phi= c_j' [/mm] für [mm] ]t_{j-1},t_j[ [/mm] sein und nicht  wie bei dir $ [mm] ]t_{j-1}, x_{j}[ [/mm] $ ; $ [mm] c_{j}'. [/mm] $
klärt das schon deine Frage?
Fall 2 ist auf 1 zurückgeführt in dem was da steht.
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Integral für Treppenfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Do 06.04.2017
Autor: X3nion


> Hallo
>   ich denke bei deiner Mitschrift ist was falsch,
> es muss [mm]\Phi= c_j'[/mm] für [mm]]t_{j-1},t_j[[/mm] sein und nicht  wie
> bei dir [mm]]t_{j-1}, x_{j}[[/mm] ; [mm]c_{j}'.[/mm]
>  klärt das schon deine Frage?
>  Fall 2 ist auf 1 zurückgeführt in dem was da steht.
>  Gruß ledum  

Hi ledum und Danke!

Sorry ja, da hatte ich mich verschrieben.

Dennoch verstehe ich noch nicht:

Wieso gilt $ [mm] c_{j}' [/mm] $ = $ [mm] c_{i} [/mm] $ für $ [mm] k_{i-1} [/mm] $ < j $ [mm] \le k_{i} [/mm] $ ?

Ich kann eben nachvollziehen, dass gemäß Voraussetzung $ [mm] ]x_{i-1}, x_{i}[ [/mm] $ = $ [mm] c_{i} [/mm] $ und | $ [mm] ]t_{j-1}, t_{j}[ [/mm] $ = $ [mm] c_{j}', [/mm] $ aber wieso steht hier kein Intervall sondern ein Index j für den $ [mm] c_{j}' [/mm] $ = $ [mm] c_{i}, [/mm] $ und wieso lautet es  für $ [mm] k_{i-1} [/mm] $ < j $ [mm] \le k_{i} [/mm] $ und nicht beide Male $ [mm] k_{i-1} [/mm] $ < j < $ [mm] k_{i} [/mm] $ oder $ [mm] k_{i-1} \le [/mm] $ j $ [mm] \le k_{i}? [/mm] $


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
Bezug
Integral für Treppenfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Do 06.04.2017
Autor: tobit09

Hallo X3nion!


> Wieso gilt [mm]c_{j}'[/mm] = [mm]c_{i}[/mm] für [mm]k_{i-1}[/mm] < j [mm]\le k_{i}[/mm] ?

[mm] $c_i$ [/mm] ist der konstante Wert von [mm] $\phi$ [/mm] im Intervall [mm] $]x_{i-1},x_i[$, $c_j'$ [/mm] der konstante Wert von [mm] $\phi$ [/mm] im Intervall [mm] $]t_{j-1},t_j[$. [/mm]

Für [mm] $k_{i-1}

> Ich kann eben nachvollziehen, dass gemäß Voraussetzung
> [mm]]x_{i-1}, x_{i}[[/mm] = [mm]c_{i}[/mm] und | [mm]]t_{j-1}, t_{j}[[/mm] = [mm]c_{j}',[/mm]

(Tippfehler: Es muss [mm] $\phi|_{]x_{i-1}, x_{i}[}=c_i$ [/mm] und [mm] $\phi|_{]t_{j-1}, t_{j}[}=c_j'$) [/mm]

> aber wieso steht hier kein Intervall sondern ein Index j
> für den [mm]c_{j}'[/mm] = [mm]c_{i},[/mm]

Die Frage verstehe ich leider nicht richtig. (Wo sollte ein Intervall stehen?)

> und wieso lautet es  für [mm]k_{i-1}[/mm]
> < j [mm]\le k_{i}[/mm] und nicht beide Male [mm]k_{i-1}[/mm] < j < [mm]k_{i}[/mm] oder
> [mm]k_{i-1} \le[/mm] j [mm]\le k_{i}?[/mm]

Die Inklusion [mm] $]t_{j-1},t_j[\subseteq ]x_{i-1},x_i[$ [/mm] ist für [mm] $j=k_i$ [/mm] erfüllt, für [mm] $j=k_{i-1}$ [/mm] jedoch nicht.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                
Bezug
Integral für Treppenfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:50 Do 06.04.2017
Autor: X3nion


> Hallo X3nion!
>  
>
> > Wieso gilt [mm]c_{j}'[/mm] = [mm]c_{i}[/mm] für [mm]k_{i-1}[/mm] < j [mm]\le k_{i}[/mm] ?
>  [mm]c_i[/mm] ist der konstante Wert von [mm]\phi[/mm] im Intervall
> [mm]]x_{i-1},x_i[[/mm], [mm]c_j'[/mm] der konstante Wert von [mm]\phi[/mm] im
> Intervall [mm]]t_{j-1},t_j[[/mm].
>  
> Für [mm]k_{i-1}
> und damit stimmen die konstanten Werte von [mm]\phi[/mm] auf diesen
> beiden Intervallen überein.
>  
>
> > Ich kann eben nachvollziehen, dass gemäß Voraussetzung
> > [mm]]x_{i-1}, x_{i}[[/mm] = [mm]c_{i}[/mm] und | [mm]]t_{j-1}, t_{j}[[/mm] = [mm]c_{j}',[/mm]
>  (Tippfehler: Es muss [mm]\phi|_{]x_{i-1}, x_{i}[}=c_i[/mm] und
> [mm]\phi|_{]t_{j-1}, t_{j}[}=c_j'[/mm])
>  
> > aber wieso steht hier kein Intervall sondern ein Index j
> > für den [mm]c_{j}'[/mm] = [mm]c_{i},[/mm]
>  Die Frage verstehe ich leider nicht richtig. (Wo sollte
> ein Intervall stehen?)
>  
> > und wieso lautet es  für [mm]k_{i-1}[/mm]
> > < j [mm]\le k_{i}[/mm] und nicht beide Male [mm]k_{i-1}[/mm] < j < [mm]k_{i}[/mm] oder
> > [mm]k_{i-1} \le[/mm] j [mm]\le k_{i}?[/mm]
>  Die Inklusion
> [mm]]t_{j-1},t_j[\subseteq ]x_{i-1},x_i[[/mm] ist für [mm]j=k_i[/mm]
> erfüllt, für [mm]j=k_{i-1}[/mm] jedoch nicht.
>  
>
> Viele Grüße
>  Tobias


Hi Tobias und Danke für deine Erklärungen!
Ja den Tippfehler habe ich bemerkt.

Und genau das ist der Punkt, den ich nicht verstehe, wieso für j = [mm] k_{i} [/mm] bzw. für j [mm] \le k_{i} [/mm] und j > [mm] k_{i-1} [/mm] die Inklusion erfüllt ist, und nicht für j = [mm] k_{i-1}. [/mm]

Könntest du das vielleicht irgendwie erläutern?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                        
Bezug
Integral für Treppenfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Do 06.04.2017
Autor: tobit09


>  >  Die Inklusion
> > [mm]]t_{j-1},t_j[\subseteq ]x_{i-1},x_i[[/mm] ist für [mm]j=k_i[/mm]
> > erfüllt, für [mm]j=k_{i-1}[/mm] jedoch nicht.

> Und genau das ist der Punkt, den ich nicht verstehe, wieso
> für j = [mm]k_{i}[/mm] bzw. für j [mm]\le k_{i}[/mm] und j > [mm]k_{i-1}[/mm] die
> Inklusion erfüllt ist, und nicht für j = [mm]k_{i-1}.[/mm]

Für [mm] $k_{i-1}
(1)      [mm] $x_{i-1}=t_{k_{i-1}}\le t_{j-1}$. [/mm]

Wegen [mm] $j\le k_i$ [/mm] gilt weiter

(2)     [mm] $t_j\le t_{k_i}=x_i$. [/mm]

Aus (1) und (2) ergibt sich wie gewünscht [mm] $]t_{j-1},t_j[\subseteq]x_{i-1},x_i[$. [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Integral für Treppenfunktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:55 Fr 07.04.2017
Autor: X3nion

Hi Tobias und vielen Dank!


> >  >  Die Inklusion

> > > [mm]]t_{j-1},t_j[\subseteq ]x_{i-1},x_i[[/mm] ist für [mm]j=k_i[/mm]
> > > erfüllt, für [mm]j=k_{i-1}[/mm] jedoch nicht.
>  
> > Und genau das ist der Punkt, den ich nicht verstehe, wieso
> > für j = [mm]k_{i}[/mm] bzw. für j [mm]\le k_{i}[/mm] und j > [mm]k_{i-1}[/mm] die
> > Inklusion erfüllt ist, und nicht für j = [mm]k_{i-1}.[/mm]
>  Für [mm]k_{i-1}
> wir [mm]k_{i-1}
> und damit
>  
> (1)      [mm]x_{i-1}=t_{k_{i-1}}\le t_{j-1}[/mm].
>  
> Wegen [mm]j\le k_i[/mm] gilt weiter
>  
> (2)     [mm]t_j\le t_{k_i}=x_i[/mm].
>  
> Aus (1) und (2) ergibt sich wie gewünscht
> [mm]]t_{j-1},t_j[\subseteq]x_{i-1},x_i[[/mm].


Eine kurze Verständnisfrage noch:
Wäre der Schluss für [mm] k_{i-1} \le [/mm] j falsch, weil man dann nicht mehr sagen könnte, dass auch [mm] k_{i-1} \le [/mm] j-1 gilt, weil eben für den Fall j = [mm] k_{i-1} [/mm] resultieren würde [mm] k_{i-1} [/mm] > j ?


Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                                                        
Bezug
Integral für Treppenfunktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Fr 07.04.2017
Autor: tobit09


>  >  Für [mm]k_{i-1}
> > wir [mm]k_{i-1}
> > und damit
>  >  
> > (1)      [mm]x_{i-1}=t_{k_{i-1}}\le t_{j-1}[/mm].
>  >  
> > Wegen [mm]j\le k_i[/mm] gilt weiter
>  >  
> > (2)     [mm]t_j\le t_{k_i}=x_i[/mm].
>  >  
> > Aus (1) und (2) ergibt sich wie gewünscht
> > [mm]]t_{j-1},t_j[\subseteq]x_{i-1},x_i[[/mm].
>
>
> Eine kurze Verständnisfrage noch:
> Wäre der Schluss für [mm]k_{i-1} \le[/mm] j falsch, weil man dann
> nicht mehr sagen könnte, dass auch [mm]k_{i-1} \le[/mm] j-1 gilt,

Genau.


> weil eben für den Fall j = [mm]k_{i-1}[/mm] resultieren würde
> [mm]k_{i-1}[/mm] > j ?

Vermutlich nur ein Tippfehler: Im Falle [mm] $j=k_{i-1}$ [/mm] haben wir zwar nicht [mm] $k_{i-1}>j$, [/mm] aber [mm] $k_{i-1}>j-1$. [/mm]

Bezug
                                                                
Bezug
Integral für Treppenfunktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 Fr 07.04.2017
Autor: X3nion


> >  >  Für [mm]k_{i-1}

> > > wir [mm]k_{i-1}
> > > und damit
>  >  >  
> > > (1)      [mm]x_{i-1}=t_{k_{i-1}}\le t_{j-1}[/mm].
>  >  >  
> > > Wegen [mm]j\le k_i[/mm] gilt weiter
>  >  >  
> > > (2)     [mm]t_j\le t_{k_i}=x_i[/mm].
>  >  >  
> > > Aus (1) und (2) ergibt sich wie gewünscht
> > > [mm]]t_{j-1},t_j[\subseteq]x_{i-1},x_i[[/mm].
> >
> >
> > Eine kurze Verständnisfrage noch:
> > Wäre der Schluss für [mm]k_{i-1} \le[/mm] j falsch, weil man dann
> > nicht mehr sagen könnte, dass auch [mm]k_{i-1} \le[/mm] j-1 gilt,
>  Genau.
>  
>
> > weil eben für den Fall j = [mm]k_{i-1}[/mm] resultieren würde
> > [mm]k_{i-1}[/mm] > j ?
>  Vermutlich nur ein Tippfehler: Im Falle [mm]j=k_{i-1}[/mm] haben
> wir zwar nicht [mm]k_{i-1}>j[/mm], aber [mm]k_{i-1}>j-1[/mm].


Genau es war ein Tippfehler.

Ich habe es nun verstanden, Danke! :)

VG X3nion

Bezug
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