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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:33 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | Sei [mm] K\subseteq\IR^{n} [/mm] eine kompakte Menge und [mm] f:K\to\IR_{+} [/mm] eine stetige nichtnegative Funktion auf K. Weiter sei [mm] f':\IR^{n}\to\IR [/mm] die triviale Fortsetzung von f (das heisst f'(x)=f(x) für jedes [mm] x\in [/mm] K und f'(x)=0 für x [mm] \in \IR^{n}/K). [/mm]
Man zeige f' [mm] \in [/mm] H [mm] (\IR^{n}) [/mm] wobei folgende Definition Sinn macht:
[mm] \integral_{K}^{}{f(x) d^{n}x}:=\integral_{\IR^{n}}^{}{f'(x) d^{n}x} [/mm] |
Die Menge H stellt in dieser Aufgabe die Menge aller Funktionen dar, die sich so als Limiten monoton wachsender Funktionsfolgen aus [mm] C_{c}(\IR^{n}) [/mm] falls die Funktionenfolge [mm] f_{v} [/mm] monoton wachsend gegen f konvergiert.
Mein Problem zeigt sich nun darin, wie ich zeigen kann, dass das angegebene f' ein Element dieser Menge H ist. Dazu muss ich ja nach einem Charakterisierungssatz 2 Sachen zeigen. Die zweite (Es existiert eine kompakte Menge die etc etc) erübrigt sich ja gemäss der Definition von f'.
Meine Frage ist wie zeige ich gemäss der Definition von f', dass f' von oben halbstetig ist? Ich wäre mega froh über eine Antwort!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Fr 09.10.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]K\subseteq\IR^{n}[/mm] eine kompakte Menge und [mm]f:K\to\IR_{+}[/mm]
> eine stetige nichtnegative Funktion auf K. Weiter sei
> [mm]f':\IR^{n}\to\IR[/mm] die triviale Fortsetzung von f (das heisst
> f'(x)=f(x) für jedes [mm]x\in[/mm] K und f'(x)=0 für x [mm]\in \IR^{n}/K).[/mm]
> Man zeige f' [mm]\in[/mm] H [mm](\IR^{n})[/mm] wobei folgende Definition Sinn
> macht:
> [mm]\integral_{K}^{}{f(x) d^{n}x}:=\integral_{\IR^{n}}^{}{f'(x) d^{n}x}[/mm]
>
> Die Menge H stellt in dieser Aufgabe die Menge aller
> Funktionen dar, die sich so als Limiten monoton wachsender
> Funktionsfolgen aus [mm]C_{c}(\IR^{n})[/mm] falls die
> Funktionenfolge [mm]f_{v}[/mm] monoton wachsend gegen f
> konvergiert.
Also wenn du dir diesen Satz selbst mal durchliest wirst du feststellen dass er ziemlich unverständlich ist. Ich interpretiere das mal so: [mm] $$H(\IR^n)=\{f:\IR^n\to\IR_+\mid \exists(f_\nu)\subset C_c(\IR^n):f_\nu\text{ konvergiert monoton gegen }f\}$$ [/mm] Ist es so richtig?
> Mein Problem zeigt sich nun darin, wie ich zeigen kann,
> dass das angegebene f' ein Element dieser Menge H ist. Dazu
> muss ich ja nach einem Charakterisierungssatz 2 Sachen
> zeigen. Die zweite (Es existiert eine kompakte Menge die
> etc etc) erübrigt sich ja gemäss der Definition von f'.
Wie lautet der Charakterisierungssatz?
Gruß, Robert
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:24 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Sacha |
Ja das ist richtig so ... Also dieser Satz sagt, dass [mm] f\in [/mm] H ist wenn erstens f gegen oben bzw. gegen unten halbstetig ist und zweitens es eine kompakte menge K existiert für welche gilt, dass für alle x die nicht in der menge K sind die funktion f(x)=0 ergibt.
Das heisst also wenn beide bedingungen erfüllt sind gilt f [mm] \in [/mm] H. Dabei unterscheidet man ja zwei solche Mengen H und zwar die, für die gilt, das die f's darin gegen oben halb stetig sind und für die andere gegen unten halb stetig. Die notation für H wäre eigentli H mit einem gegen oben gerichteten Pfeil und mit einem gegen unten.
So besser? Ich hoffe man versteht mein problem nun '^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Fr 09.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Und was heißt gegen oben/unten halbstetig?
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:51 So 11.10.2009 | | Autor: | Sacha |
Gegen oben bzw. unten halbstetig bedeutet, dass ein c>0 existiert für welches gilt f(x)>c für alle x
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 So 11.10.2009 | | Autor: | Sacha |
Muss ich also nun um zu zeigen, dass die Funktion f halb nach oben halbstetig ist zeigen, dass dieses c existiert und wo oder wie??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Muss ich also nun um zu zeigen, dass die Funktion f halb
> nach oben halbstetig ist zeigen, dass dieses c existiert
> und wo oder wie??
Lies dir erstmal die Definition von oberhalbstetig durch.
Sei [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge, die gegen $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] konvergiert. Du musst jetzt zeigen dass [mm] $\limsup f'(x_n)_{n\in\IN} \le [/mm] f(x)$ ist.
Wenn $x [mm] \not\in [/mm] K$ ist, dann gibt es eine Umgebung um $x$, die vollstaendig ausserhalb $K$ liegt (warum?). Dort ist die Funktion $f'$ identisch 0, womit (warum?) [mm] $\limsup f'(x_n)_{n\in\IN} [/mm] = 0 = f(x)$ ist.
Sei nun $x [mm] \in [/mm] K$. Jetzt hast du zwei Faelle.
1. Nur endlich viele Folgenglieder liegen in $K$. Dann sind fast alle Folgenglieder ausserhalb $K$, und fuer diese gilt [mm] $f'(x_n) [/mm] = 0$. Damit ist die Folge [mm] $(f'(x_n))_{n\in\IN}$ [/mm] fuer fast alle Werte 0, und somit [mm] $\limsup_{n\in\IN} f'(x_n) [/mm] = 0$. Da $x [mm] \in [/mm] K$ ist gilt aber $f'(x) = f(x) > 0$, also insbesondere $f'(x) [mm] \ge \limsup_{n\in\IN} f'(x_n)$.
[/mm]
2. Unendlich viele Folgenglieder liegen in $K$. Ist [mm] $(a_{k(n)})_{n\in\IN}$ [/mm] die Teilfolge von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] aller Folgenglieder, die in $K$ liegen, so gilt [mm] $\lim_{n\to\infty} f'(a_{k(n)}) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} f(a_{k(n)}) [/mm] = f(x)$. Damit gilt [mm] $\limsup_{n\in\IN} f'(a_n) \ge [/mm] f(x)$.
Aber angenommen [mm] $\limsup_{n\in\IN} f'(a_n) [/mm] > f(x)$. Dies musst du jetzt zum Widerspruch fuehren.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Sacha |
Hei danke dir vielmals Felix für deine Hilfe! Doch verstehe ich noch nicht ganz wie das mit dem Widerspruch ganz am ende zu verstehen ist.
Weiter frage ich mich, ob die Aufgabe ziehmlich analog oder völlig anders verlaufen wird, wenn die Menge K, auf der die Funktion f definiert ist, nicht Kompakt ist sondern offen. Dann könnte man zeigen, dass die Funktion f von unten halb stetig ist oder?
Danke dir für deine Mühe!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hei danke dir vielmals Felix für deine Hilfe! Doch
> verstehe ich noch nicht ganz wie das mit dem Widerspruch
> ganz am ende zu verstehen ist.
Was bedeutet es, wenn der [mm] $\limsup$ [/mm] einer Folge groesser als ein Wert ist? Dann kannst du doch eine Teilfolge mit einer bestimmten Eigenschaft waehlen. Diese muss innerhalb von $K$ liegen (zumindest ab einem bestimmten Index), und daraus bekommst du dann einen Widerspruch weil sie dann gegen $f(x)$ (was kleiner als er [mm] $\limsup$ [/mm] ist) konvergieren muss.
> Weiter frage ich mich, ob die Aufgabe ziehmlich analog oder
> völlig anders verlaufen wird, wenn die Menge K, auf der
> die Funktion f definiert ist, nicht Kompakt ist sondern
> offen. Dann könnte man zeigen, dass die Funktion f von
> unten halb stetig ist oder?
Nun, du wuerdest herausbekommen dass sie unterhalbstetig ist. Allerdings kannst du dann den Charakterisierungssatz nicht anwenden, da dir die kompakte Menge fehlt. Allerdings: wenn die offene Menge beschraenkt ist, dann ist sie in einer kompakten Menge enthalten, und dann geht's wieder.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Sacha |
hei danke dir! Hat mir sehr geholfen!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegen oben bzw. unten halbstetig bedeutet, dass ein c>0
> existiert für welches gilt f(x)>c für alle x
Das bezweifle ich aber stark. Das, was du genannt ist, ist die Definition fuer nach oben beschraenkt. Was halbstetig bedeutet kann man z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier nachlesen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:18 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Es soll wohl heissen:
> Sei [mm]K\subseteq\IR^{n}[/mm] eine kompakte Menge und [mm]f:K\to\IR_{+}[/mm]
> eine stetige nichtnegative Funktion auf K. Weiter sei
> [mm]f':\IR^{n}\to\IR[/mm] die triviale Fortsetzung von f (das heisst
> f'(x)=f(x) für jedes [mm]x\in[/mm] K und f'(x)=0 für x [mm]\in \IR^{n}/K).[/mm]
> Man zeige f' [mm]\in[/mm] H [mm](\IR^{n})[/mm]; dann macht folgende Definition Sinn:
> [mm]\integral_{K}^{}{f(x) d^{n}x}:=\integral_{\IR^{n}}^{}{f'(x) d^{n}x}[/mm]
LG Felix
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