Integral holomorph? < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:59 Mi 01.08.2012 | | Autor: | softeisesser |
Ich lese oft das [mm] \int_{a}^{b}f(t)dt [/mm] holomorph ist, wenn man schon weiß, dass f(t) holomorph ist. Aber warum genau?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Mi 01.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Integral hat doch einfach einen Wert, ist also keine funktion, was meinst du da mit holomorph, wo hast du das gelesen`
Gruss leduart
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hm, okay ich glaub ich muss dies noch anders ausdrücken :)
[mm] g(s)=\integral_{a}^{b}{f(t) dt}
[/mm]
und f ist eine holomorphe funktion abhängig von s, z.b. [mm] \bruch{1}{t^s}.
[/mm]
Ist g(s) dann holomorph?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Do 02.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> hm, okay ich glaub ich muss dies noch anders ausdrücken
> :)
> [mm]g(s)=\integral_{a}^{b}{f(t) dt}[/mm]
Nach wie vor ist g konstant !
>
> und f ist eine holomorphe funktion abhängig von s, z.b.
> [mm]\bruch{1}{t^s}.[/mm]
> Ist g(s) dann holomorph?
Meinst Du sowas:
[mm]g(s)=\integral_{a}^{b}{f(t,s) dt}[/mm] ?
Bevor ich mich weiter mit Deiner Frage beschäftige:
sag ganz klar, wo f definiert ist, welche Eigenschaften f hat, etc...
FRED
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[mm] f:\{s\in\IC| Re(s)>0\}\to\IC, s\mapsto t^s
[/mm]
wobei [mm] t\in [/mm] [a,b], [mm] a,b\in\IR_{>0} [/mm] mit a<b
hilft das?
zu g konstant: wenn ich nun das integral ausrechne erhalte ich einen bruch [mm] \bruch{1}{1-s} [/mm] als vorfaktor. woran erkenne ich nun dass dies holomorph ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:45 Sa 04.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f:\{s\in\IC| Re(s)>0\}\to\IC, s\mapsto t^s[/mm]
> wobei [mm]t\in[/mm]
> [a,b], [mm]a,b\in\IR_{>0}[/mm] mit a<b
>
> hilft das?
ja, dann meinst Du sicher
[mm] $$g(s)=\integral_{a}^{b}{f(t,s) dt}=\int_a^b t^sdt\,.$$
[/mm]
Oder?
> zu g konstant: wenn ich nun das integral ausrechne erhalte
> ich einen bruch [mm]\bruch{1}{1-s}[/mm] als vorfaktor. woran erkenne
> ich nun dass dies holomorph ist?
Ohne auch nur ein wenig über Deine Frage nachgedacht zu haben:
Mein Eindruck ist, dass Du Deine Fragen zu früh stellst - und Dir auch nicht ganz klar ist, was Du fragen willst. Der erste Eindruck deshalb, weil Dir anscheinend noch nichtmal klar ist/war, welche Funktion Du da bearbeitest. Das musst Du doch klar formulieren und hinschreiben können. Wenn das schon Schwierigkeiten bereitet: Wie willst Du sowas dann untersuchen?
Der zweite Eindruck ist bei mir wegen Deinen Formulierungen entstanden. Du arbeitest mit "Halbwissen" - und so eine Arbeitsweise entsteht, wenn man sich nicht wirklich mit den Sachen beschäftigt, sondern sie so ein wenig halbherzig aufnimmt und denkt "Ahja, ich weiß ja, was die meinen."
Beschäftige Dich länger damit, und dann wirst Du sehen, dass Du da sicher auch nicht dumm bist und auch irgendwie wirklich "weißt", was die meinen. Aber vor allem lernst Du, mit der richtigen Sprache umzugehen und Deine Fragen eindeutig, klar und verständlich zu formulieren.
Ist nicht bös' gemeint, ist wirklich ein Tipp, den ich aus eigener Erfahrung weitergeben kann: Wenn ich eine Frage formulieren will und merke, dass ich gar nicht klar formulieren kann, was ich wissen will, merke ich "Da ist eine Lücke" oder mindestens eine Sache, die mir gar nicht klar ist (wobei ich vorher dachte, dass sie mir klar wäre).
Sobald ich in der Lage bin, Fragen verständlich zu formulieren und auch weiß, welche Infos für die Frage notwendig sind, weiß ich immerhin, dass ich die Grundlagen schonmal verstanden habe. Und das tolle ist:
Bei dem Prozess "Frage richtig formulieren" passiert es nicht selten, dass man währenddessen selbst die Antwort findet.
Und deswegen ist in der Mathematik sowas wie eine Lerngruppe sicher mehr als sinnvoll (wenngleich ich auch eher selten mal einer beigewohnt hatte).
P.S.
Ist Dir eigentlich klar, dass [mm] $g(s)=\int_a^b [/mm] f(t)dt$ konstant ist - jedenfalls dann, wenn Du die Information, dass "in [mm] $f\,$ [/mm] auch [mm] $s\,$ [/mm] mit drinsteckt", nicht mitlieferst? Denn in der Notation [mm] $g(s)=\int_a^b [/mm] f(t)dt$ geht man davon aus, dass [mm] $f=f(t)\,,$ [/mm] und nicht, dass [mm] $f=f_s(t)$ [/mm] bzw. [mm] $f(s,t)\,.$ [/mm] D.h. in der Notation [mm] $g(s)=\int_a^b [/mm] f(t)dt$ glaubt man, dass [mm] $f\,$ [/mm] nur von einer Variablen abhängt, und dass [mm] $f\,$ [/mm] NICHT von [mm] $s\,$ [/mm] abhängt.
Gruß,
Marcel
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Bei festem reellen [mm]t>0[/mm] ist die Funktion [mm]s \mapsto t^s = \operatorname{e}^{s \cdot \ln t}[/mm] im Gebiet [mm]H[/mm] aller komplexen [mm]s[/mm], deren Realteil größer als 0 ist, also der sogenannten rechten Halbebene, holomorph. Für feste reelle [mm]a,b[/mm] mit [mm]0
[mm]g(s) = \int_a^b t^s ~ \mathrm{d}t \, , \ \ s \in H[/mm]
auf Holomorphie zu untersuchen. Dazu genügt es nachzuweisen, daß [mm]\int_{\partial R} g(s) ~ \mathrm{d}s = 0[/mm] ist, wobei über den Rand [mm]\partial R[/mm] eines beliebigen in [mm]H[/mm] liegenden achsenparallelen Rechtecks [mm]R[/mm] zu integrieren ist. Vielleicht ist dir ja dieses Holomorphiekriterium vertraut.
[mm]\int_{\partial R} g(s) ~ \mathrm{d}s = \int_{\partial R} \left( \int_a^b t^s ~ \mathrm{d}t \right) ~ \mathrm{d}s[/mm]
Der Integrand hängt stetig von [mm]t[/mm] und [mm]s[/mm] ab. Fubini ...
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Vielen Dank für die Hilfe! Glaube es hat geklappt *G*
Ich war schon dabei dies mit dem Integralsatz von Cauchy zu bearbeiten (den speziell für Rechtecke kannte ich noch nicht), habe aber garnicht gesehen dass ich das Integral selbst als Funktion ansehen und dort einsetzen kann.
Das Problem habe ich allgemein formuliert, für den Fall dass eine Lösung sich findet, man auch gleich eine allgemeine vorgehensweise erhält. (so müsste ich nicht für jede Funktion speziell nachfragen :) )
Aber ja die Frage hätte ich präziser stellen können bzw. sollen, um schneller zur Lösung zu kommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Hilfe! Glaube es hat geklappt *G*
>
> Ich war schon dabei dies mit dem Integralsatz von Cauchy zu
> bearbeiten (den speziell für Rechtecke kannte ich noch
> nicht),
???? Leopold Gast meinte den Satz von Morera .....
FRED
> habe aber garnicht gesehen dass ich das Integral
> selbst als Funktion ansehen und dort einsetzen kann.
>
> Das Problem habe ich allgemein formuliert, für den Fall
> dass eine Lösung sich findet, man auch gleich eine
> allgemeine vorgehensweise erhält. (so müsste ich nicht
> für jede Funktion speziell nachfragen :) )
> Aber ja die Frage hätte ich präziser stellen können
> bzw. sollen, um schneller zur Lösung zu kommen.
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Ja, aber vorher brauch ich doch Cauchy's Integralsatz oder?
Ist es eigentlich egal ob ich über die Ränder von Dreiecken oder Vierecken die Sätze verwende? Sind doch beides Objekte des [mm] R^2 [/mm] bzw. der Halbebene.
(Woher weiß man genau, dass es für jedes! Dreieck/Rechteck gilt?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 06.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ja, aber vorher brauch ich doch Cauchy's Integralsatz
> oder?
Nein.
Satz von Morera: sei D eine offene Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und f:D [mm] \to \IC [/mm] stetig, so gilt: ist
[mm] \integral_{ \partial \Delta}^{}{f(z) dz}=0
[/mm]
für jedes Dreieck [mm] \Delta [/mm] in D, so ist f auf D holomorph.
Lemma von Goursat: sei D eine offene Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und f:D [mm] \to \IC [/mm] holomorph, so gilt:
[mm] \integral_{ \partial \Delta}^{}{f(z) dz}=0
[/mm]
für jedes Dreieck [mm] \Delta [/mm] in D.
Nimmt man beide Sätze zusammen, so bekommt man den
Satz: sei D eine offene Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und f:D [mm] \to \IC [/mm] stetig, so sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) f ist auf D holomorph.
(2) [mm] \integral_{ \partial \Delta}^{}{f(z) dz}=0 [/mm] für jedes Dreieck [mm] \Delta [/mm] in D.
>
> Ist es eigentlich egal ob ich über die Ränder von
> Dreiecken oder Vierecken die Sätze verwende?
Ja, das ist egal.
FRED
> Sind doch
> beides Objekte des [mm]R^2[/mm] bzw. der Halbebene.
> (Woher weiß man genau, dass es für jedes!
> Dreieck/Rechteck gilt?)
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Wenn es nur um das konkrete Beispiel geht: Die Funktion [mm]g(s) = \int_a^b t^s ~ \mathrm{d}t[/mm] mit [mm]0
[mm]g(s) = \begin{cases} \frac{b^{s+1} - a^{s+1}}{s+1} & \mbox{für} \ s \neq -1 \\ \ln \frac{b}{a} & \mbox{für} \ s = -1 \end{cases}[/mm]
Für reelle [mm]s[/mm] ist das klar, dann noch den Identitätssatz verwenden.
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