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| Aufgabe | Falls [mm] \{z: Im(z) \ge 0\}\subset \omega [/mm] und f [mm] \in H(\omega) [/mm] so gilt [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}f(z)=0. [/mm] Zeigen Sie
[mm] f(z)=\limes_{r\rightarrow\infty}\bruch{1}{2i\pi}\integral_{-r}^{+r}{\bruch{f(x)}{x-z} dx}, [/mm] falls Im(z)>0. |
Hi, kann mir vielleicht jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Die Voraussetzung versteh ich auch schon nicht so, wieso kann man aus [mm] \{z: Im(z) \ge 0\}\subset \omega [/mm] folgern, dass [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}f(z)=0 [/mm] gelten muss?
Und bei der Formel, sie ähnelt ja der Integrationsformel von Cauchy, ist es aber nicht. Wie könnte man da vorgehen?
Grüße
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Und was bedeuten [mm]\omega[/mm] und [mm]H(\omega)[/mm] ?
Wenn das einfach heißen soll, daß [mm]f[/mm] auf einem die abgeschlossene obere Halbebene umfassenden Gebiet holomorph ist, dann kann man daraus nicht folgern, daß [mm]f(z) \to 0[/mm] strebt für [mm]z \to \infty[/mm]. Gegenbeispiele haufenweise: [mm]f(z)=1, f(z)=z, f(z)=\operatorname{e}^z, \ldots[/mm] Ich vermute daher, daß die Limesaussage keine Folgerung, sondern eine Voraussetzung der Aufgabe ist. Hast du die Aufgabe genau so, wie sie vor dir liegt, abgeschrieben oder ein dir unwichtig scheinendes Detail vergessen?
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Hi leopold_gast, ja du hast recht. das mit dem limes ist mit in der Voraussetzung, und mehr an voraussetzungen gibt es leider auch nicht. die sache ist wieder, dass die aufgabenstellung auf spanisch ist und ich die so einigermaßen übersetzen muss  . und das mit $ [mm] \omega [/mm] $ und $ [mm] H(\omega) [/mm] $ hast du auch richtig gesagt, das meinen die hier immer damit.
Und wie könnte man jetzt mit der Voraussetzung [mm] f(z)=\limes_{r\rightarrow\infty}\bruch{1}{2i\pi}\integral_{-r}^{+r}{\bruch{f(x)}{x-z} dx} [/mm] zeigen?
Wie schon gesagt, ähnelt ja der C.Formel, aber ist es ja trotzdem nicht....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mi 06.05.2009 | | Autor: | BBFan |
Ist das r ein Radius und wird über einen Kreis integriert, oder über die reele Achse? Da muss schon mehr stehen.
Gruss
BBFan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mi 06.05.2009 | | Autor: | jaruleking |
Also hier ist die Aufgabe, das steht leider nicht mehr, unter Cuestiones, Punkt (ii)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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[sarkasmus] Könnte man die Graphik bitte noch etwas größer machen? Man die kann die kleine Schrift ja kaum lesen! [/sarkasmus]
Die Formel ist eigentlich nur eine Anwendung des Residuensatzes. Betrachte für [mm]r>0[/mm] den Weg [mm]\gamma_r[/mm], der sich aus der Strecke von [mm]-r[/mm] bis [mm]r[/mm] und dem oberen Halbkreis um 0 von [mm]r[/mm] bis [mm]-r[/mm] zusammensetzt. Wenn [mm]r[/mm] genügend groß ist (was man annehmen darf, da man später den Grenzübergang [mm]r \to \infty[/mm] vornimmt), liegt [mm]z[/mm] als einzige Singularität von
[mm]g(\zeta) = \frac{f(\zeta)}{\zeta - z}[/mm]
im Innern des Halbkreises (unbedingt Skizze machen). Du mußt somit nur das Residuum von [mm]g(\zeta)[/mm] an der Stelle [mm]\zeta = z[/mm] bestimmen, um das Integral
[mm]\int_{\gamma_r} g(\zeta)~\mathrm{d} \zeta[/mm]
berechnen zu können. Dann zerlegst du das Integral in zwei Teile (Strecke bzw. Halbkreis) und weist nach, daß das Integral über den Halbkreis für [mm]r \to \infty[/mm] gegen 0 konvergiert. Dafür mußt du an geeigneter Stelle die Voraussetzung [mm]\lim_{\zeta \to \infty} f(\zeta) = 0[/mm] einbringen. Verwende die Standardabschätzung.
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Hi, ich muss zu dieser Aufgabe nochmal paar fragen stellen:
> Du mußt somit nur das Residuum von $ [mm] g(\zeta) [/mm] $ an der Stelle $ [mm] \zeta [/mm] = z $ bestimmen, um das Integral
> $ [mm] \int_{\gamma_r} g(\zeta)~\mathrm{d} \zeta [/mm] $
> berechnen zu können. Dann zerlegst du das Integral in zwei Teile (Strecke bzw. Halbkreis) und weist nach, daß das Integral über den Halbkreis für $ r [mm] \to \infty [/mm] $ gegen 0 konvergiert. Dafür mußt du an geeigneter Stelle die Voraussetzung $ [mm] \lim_{\zeta \to \infty} f(\zeta) [/mm] = 0 $ einbringen. Verwende die Standardabschätzung.
Aber wie berechne ich jetzt das Residum von [mm] g(\zeta) [/mm] , da komm ich gerade nicht weit??? Die Residuenformel ist ja [mm] \integral_{C}^{}{f(z) dz}=2i\pi\summe_{j=1}^{k}X(C;z_j)Res_{z=z_j}f [/mm] , weiß aber gerade nicht, wie ich das darauf anwenden kann.
Also vielleicht erstmal das, später dann die Zerlegung der Integrale.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 21.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
> > (...)
> > [mm] $g(\zeta)=\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}$
[/mm]
> > Du mußt somit nur das Residuum von [mm]g(\zeta)[/mm] an der Stelle
> > [mm]\zeta = z[/mm] bestimmen, (...)
> Aber wie berechne ich jetzt das Residum von [mm]g(\zeta)[/mm] , da
> komm ich gerade nicht weit??? Die Residuenformel ist ja
> [mm]\integral_{C}^{}{f(z) dz}=2i\pi\summe_{j=1}^{k}X(C;z_j)Res_{z=z_j}f[/mm]
Das Residuum von $g$ in $z$ ist:
[mm] $\mathrm{Res}_{z}g=\frac{1}{2\pi i}\oint_{B_r}g(\zeta)\,d\zeta$
[/mm]
Hilft Dir das weiter?
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sorry, leider nicht so wirklich :-(.
> [mm] \mathrm{Res}_{z}g=\frac{1}{2\pi i}\oint_{B_r}g(\zeta)\,d\zeta [/mm]
ist ja auch nur ne formel, aber ich brauch ja was, um dann das integral [mm] \int_{\gamma_r} g(\zeta)~\mathrm{d} \zeta [/mm] zu bestimmen und um dann das ganze in zwei integrale zu zerteilen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 30.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hi, ich muss jetzt hier nochmal was fragen. habe versucht, die tipps zu befolgen:
[mm] \int_{\gamma_r} g(\zeta)~\mathrm{d} \zeta =\int_{-R}^{R}{g(x) dx }+\integral_{K_R}^{}{g(\zeta)~\mathrm{d} \zeta }
[/mm]
So, [mm] \integral_{K_R}^{}{g(\zeta)~\mathrm{d} \zeta } [/mm] strebt gegen 0, dann bekommen wir:
[mm] \int_{\gamma_r} g(\zeta)~\mathrm{d} \zeta =\int_{-R}^{R}{g(x) dx }=2i\pi [/mm] Res(g,z)
[mm] \gdw Res(g,z)=\bruch{1}{2i\pi}\int_{-R}^{R}{g(x) dx }=\bruch{1}{2i\pi}\int_{-R}^{R}{\bruch{f(x)}{x-z} dx }
[/mm]
So, jetzt sind wir ja fast schon fertig, nur ist [mm] \gdw [/mm] Res(g,z)=f(z), wieso könnte man das so ersetzen??? Wie man das Res(g,z) bestimmt, habe ich leider nicht hinbekommen.
Danke für hilfe.
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Sa 06.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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