Integral in Kugelkoordinaten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mi 25.05.2005 | | Autor: | libero |
Hallo!
In einer Übungsaufgabe für Physik haben wir die Lösung bekommen, aber ich kann diese nicht so richtig nachvollziehen. Es geht darum, folgendes Integral (in Kugelkoordinaten) zu berechnen:
[mm]\vec{p} = \integral_{0}^{\infty}{r^2dr}\integral_{0}^{\pi}{\sin{\theta} d\theta}\integral_{0}^{2\pi}{d\phi \sigma_0 \cos{\theta} \delta (r-R) \vec{r}}=\bruch{4 \pi}{3}\sigma_0 R^3 \vec{e}_z[/mm]
Mein Problem hier ist, dass ich alles umsortiere und unter anderem folgendes Integral auftritt:
[mm]\integral_{0}^{\pi}{\sin{\theta}\cos{\theta}d\theta} = \bruch{1}{2}\sin^2{\theta} |^{\pi}_{0} = 0[/mm]
und somit der ganze Term 0 wird. Was mache ich falsch? Ich vermute, es liegt daran, dass ich mit den Kugelkoordinaten noch nicht ganz zurecht komme. Muss ich mit dem Vektor r irgendwas machen?
Gruß,
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:01 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Michael
ich vermute, dass du irgendwo Phi und Theta nicht richtig auseinander gehalten hast (beim 3. Integralzeichen).
Ich denke, an Stelle von
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{r^2dr}\integral_{0}^{\pi}{\sin{\theta} d\theta}\integral_{0}^{2\pi}{d\phi \sigma_0 \cos{\theta} \delta (r-R) \vec{r}}$
[/mm]
Sollte es so heissen (oder ähnlich):
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{r^2dr}\integral_{0}^{\pi}{\sin{\vartheta} d\vartheta}\integral_{0}^{2\pi}{d\varphi \sigma_0 \cos{\varphi} \delta (r-R) \vec{r}}$
[/mm]
Kannst du das bitte nochmals überprüfen?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Mi 25.05.2005 | | Autor: | libero |
Hallo Paulus!
Es kann natürlich ein Druckfehler sein, aber ich glaube es nicht. Hier ist der komplette Lösungsweg, so wie ich ihn bekommen habe:
[mm]\vec{p}=\integral_{0}^{\infty}{r^2dr}\integral_{0}^{\pi}{\sin{\vartheta}d\vartheta}\integral_{0}^{2\pi}{d\varphi \sigma_0 \cos\vartheta \delta (r-R) \vec{r}} =\sigma_0 R^2 \integral_{-1}^{+1}{d\cos\vartheta} \integral_{0}^{2\pi}{d\varphi \cos\vartheta R(\sin\vartheta \cos\varphi, \sin\vartheta \sin\varphi, \cos\vartheta)} = 2\pi\sigma_0 R^3 \integral_{-1}^{+1}{d\cos\vartheta (0,0,\cos^2{\vartheta})} = \bruch{4\pi}{3}\sigma_0 R^3 \vec{e}_z[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Mi 25.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
In deinem Lösungsweg steht doch eigentlich, was du falsch gemacht hast! So wie du umgeordnet hast kannst du nicht umordnen, weil du nicht alle [mm] \theta [/mm] bzw fkt davon rausgezogen hast! in Wirklichkeit ist es nicht [mm] sin\theta*cos\theta, [/mm] sondern [mm] cos^{2}\theta. [/mm] Du hattest recht, dass du [mm] \vec{r} [/mm] nicht berücksichtigt hast!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:03 Do 26.05.2005 | | Autor: | libero |
Vielen Dank an euch für die Antworten! Hab's jetzt kapiert 
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