Integral konvergiert < Test-Forum < Internes < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral [mm] \int_1^\infty\frac{\cos x}{x}dx [/mm] konvergiert.
[Eine Aufgabe/ Lösung für einen Kommilitonen, nicht direkt für das Forum relevant] |
Sei [mm] \varepsilon>0.
[/mm]
Beweis mit dem Cauchykriterium. Es ergibt sich für 0<s<t:
[mm] \left|\int_s^t\frac{\cos x}{x}dx\right|=\left|\left[\frac{-\sin x}{x}\right]^t_s+\int^t_s\frac{\sin(x)}{x^2}dx\right|\leq\left|\frac{\sin s}{s}-\frac{\sin t}{t}\right|+\int_s^t\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx\leq\frac{1}{s}+\frac{1}{t}+\int_s^t\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{s}+\frac{1}{t}+\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{t}\right)=\frac{2}{s}
[/mm]
Für [mm] t>s>\frac{2}{\varepsilon} [/mm] gilt folglich [mm] \left|\int_s^t\frac{\cos x}{x}dx\right|\leq\frac{2}{s}<2*\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
[/mm]
Damit folgt die Konvergenz des Integrals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 So 03.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie, ob das uneigentliche Integral
> [mm]\int_1^\infty\frac{\cos x}{x}dx[/mm] konvergiert.
>
> [Eine Aufgabe/ Lösung für einen Kommilitonen, nicht
> direkt für das Forum relevant]
>
> Sei [mm]\varepsilon>0.[/mm]
> Beweis mit dem Cauchykriterium. Es ergibt sich für
> 0<s<t:
>
> [mm]\left|\int_s^t\frac{\cos x}{x}dx\right|=\left|\left[\frac{-\sin x}{x}\right]^t_s+\int^t_s\frac{\sin(x)}{x^2}dx\right|\leq\left|\frac{\sin s}{s}-\frac{\sin t}{t}\right|+\int_s^t\left|\frac{\sin x}{x}\right|dx\leq\frac{1}{s}+\frac{1}{t}+\int_s^t\frac{dx}{x^2}=\frac{1}{s}+\frac{1}{t}+\left(\frac{1}{s}-\frac{1}{t}\right)=\frac{2}{s}[/mm]
Wahrscheinlich nur ein Tippfehler:
Oben muß es [mm] \int_s^t\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|dx
[/mm]
lauten
FRED
>
> Für [mm]t>s>\frac{2}{\varepsilon}[/mm] gilt folglich
> [mm]\left|\int_s^t\frac{\cos x}{x}dx\right|\leq\frac{2}{s}<2*\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.[/mm]
>
> Damit folgt die Konvergenz des Integrals.
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