Integral konvergiert gegen 0 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige: Für beliebige [mm] $\delta [/mm] >0$ gilt
[mm] $$t^{-n/2} \int_{\delta}^{\infty} \mathrm{exp}\left(- \frac{r^2}{16t}\right) r^{n-1} \; [/mm] dr [mm] \to [/mm] 0 [mm] \text{ mit } t\to [/mm] 0^+$$ |
Hallo,
anschaulich ist das natürlich klar, da die e-Funktion sehr stark gegen Null abfällt für [mm] t\to [/mm] 0, aber ich weiß nicht, wie ich es sauber analytisch zeigen kann.
Die Reihenentwicklung über die e-Funktion hat mich nicht weiter gebracht und auch die Substitution [mm] y=\frac{r}{4\sqrt{t}} [/mm] hat mich nicht zum Ziel geführt...
Hat jemand eine besser Idee?
Dankeschön!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Mo 10.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Zeige: Für beliebige [mm]\delta >0[/mm] gilt
>
> [mm]t^{-n/2} \int_{\delta}^{\infty} \mathrm{exp}\left(- \frac{r^2}{16t}\right) r^{n-1} \; dr \to 0 \text{ mit } t\to 0^+[/mm]
>
> Hallo,
>
> anschaulich ist das natürlich klar, da die e-Funktion sehr
> stark gegen Null abfällt für [mm]t\to[/mm] 0, aber ich weiß
> nicht, wie ich es sauber analytisch zeigen kann.
> Die Reihenentwicklung über die e-Funktion hat mich nicht
> weiter gebracht und auch die Substitution
> [mm]y=\frac{r}{4\sqrt{t}}[/mm] hat mich nicht zum Ziel geführt...
Warum nicht? Sieht doch gut aus; schreib mal auf, was du gerechnet hast (und vergiss nicht, die Grenzen mit zu substituieren)!
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
ja das t fällt dann tatsächlich aus dem Integral raus. Ich erhalte
[mm] $4^{n-1} \int e^{-y^2} y^{n-1} \; [/mm] dy$
mit der oberen Grenze [mm] "$y(\infty)$"$=\infty$
[/mm]
und der unteren Grenze [mm] y(\delta)=\delta/(4\sqrt{t})
[/mm]
Das Integral kann ich aber nicht integrieren oder? Und wir gehe ich jetzt mit dem t in der Integralgrenze um?
Gruß Patrick
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:17 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Wuffel |
Wenn du das Integral von 0 bis [mm] \infty [/mm] betrachtest so kannst du über eine Substitution hier die Gamma Funktion reinbekommen, welche einen festen Wert in Abhängigkeit von n liefert.
Dafür musst du dann zusätzlich das Integral von 0 bis zur Grenze abziehen da diese ja im ursprünglichen nicht enthalten war. Und der dann nur noch von t abhängige Term sollte danach dann wohl verschwinden.
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Aber ich muss ja zeigen, dass ganze Integral wirklich verschwindet und nicht nur konvergiert. Ich sehe nicht wie mir das dann weiterhelfen soll..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Di 11.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Aber ich muss ja zeigen, dass ganze Integral wirklich
> verschwindet und nicht nur konvergiert. Ich sehe nicht wie
> mir das dann weiterhelfen soll..
Wieso meinst du, dass du
[mm] \int e^{-y^2} y^{n-1} \; dy [/mm]
nicht integrieren kannst? Leite durch partielle Integration eine Rekursionsformel her; nur für ungerade n bleibt die Gaussfunktion stehen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
> Wieso meinst du, dass du
>
> [mm]\int e^{-y^2} y^{n-1} \; dy[/mm]
>
> nicht integrieren kannst? Leite durch partielle
> Integration eine Rekursionsformel her; nur für ungerade n
> bleibt die Gaussfunktion stehen.
Hmm, ich komme auf Folgendes:
[mm] $$\int e^{-y^2}y^{n-1} [/mm] dy= [mm] \int ye^{-y^2}y^{n-2} [/mm] dy$$
[mm] $$=-1/2\; y^{n-2} e^{-y^2} [/mm] + [mm] \int [/mm] (n-2)/2 [mm] \; y^{n-1} e^{-y^2}$$
[/mm]
Jetzt habe ich zwar auf der rechten Seite das gleiche Integral und könnte danach umstellen, aber das sieht komisch aus, ich könnte dann n=4 gar nicht einsetzen usw...
Ich komme ich denn auf die gewünschte Rekursionsformel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Di 11.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Patrick!
> Hallo Rainer,
>
> > Wieso meinst du, dass du
> >
> > [mm]\int e^{-y^2} y^{n-1} \; dy[/mm]
> >
> > nicht integrieren kannst? Leite durch partielle
> > Integration eine Rekursionsformel her; nur für ungerade n
> > bleibt die Gaussfunktion stehen.
>
>
> Hmm, ich komme auf Folgendes:
>
> [mm]\int e^{-y^2}y^{n-1} dy= \int ye^{-y^2}y^{n-2} dy[/mm]
>
> [mm]=-1/2\; y^{n-2} e^{-y^2} + \int (n-2)/2 \; y^{n-1} e^{-y^2}[/mm]
>
> Jetzt habe ich zwar auf der rechten Seite das gleiche
> Integral
Das ist nicht richtig, was ist denn die Ableitung von [mm] $y^{n-2}$ [/mm] ? Sicher nicht $(n-2) [mm] y^{n-1}$ [/mm] .
Übrigens verschwindet der erste Term $ [mm] -1/2\; y^{n-2} e^{-y^2}$ [/mm] an der oberen Grenze; und der Wert an der unteren Grenze geht für [mm] $t\to0+$ [/mm] gegen 0.
Viele Grüße
Rainer
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Ok, also der erste Term verschindet und es bleibt das folgende Integral:
[mm] $\frac{n-2}{2} \int y^{n-3} e^{-y^2} \; [/mm] dy = [mm] \frac{n-2}{2} \int [/mm] y [mm] e^{-y^2} y^{n-4} \; [/mm] dy$
Partielle Integration ergibt wieder einen Term der verschwindet und dann das Integral
[mm] $\frac{(n-2)(n-4)}{2} \int y^{n-5} e^{-y^2} \; [/mm] dy$
Das kann man jetzt immer so weiter machen, je nach dem wie groß n ist. Aber für gerades n verschwindet irgendann alles und für ungerades n habe ich nach genügend Rekursionen:
[mm] $C*\int e^{-y^2} \; [/mm] dy$
mit der oberen Grenze [mm] \infty [/mm] und der untere Grenze [mm] \delta/(4\sqrt{t}). [/mm] Wieso verschwindet das nun für [mm] $t\to [/mm] 0$?
Dankeschön 
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Ja, danke Dir. Könnte man es dann so aufschreiben?
[mm] $\limes_{t \rightarrow 0} \int_{\delta/(4\sqrt{t})}^{\infty} e^{-y^2} \; [/mm] dy = [mm] \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} \; [/mm] dy- [mm] \limes_{t \rightarrow 0} \int^{\delta/(4\sqrt{t})}_{0} e^{-y^2} \; [/mm] dy= [mm] \sqrt{\pi}/2 [/mm] - [mm] \int^{\infty}_{0} e^{-y^2} \; [/mm] dy = [mm] \sqrt{\pi}/2- \sqrt{\pi}/2 [/mm] = 0$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Do 13.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja, danke Dir. Könnte man es dann so aufschreiben?
>
> [mm]\limes_{t \rightarrow 0} \int_{\delta/(4\sqrt{t})}^{\infty} e^{-y^2} \; dy = \int_{0}^{\infty} e^{-y^2} \; dy- \limes_{t \rightarrow 0} \int^{\delta/(4\sqrt{t})}_{0} e^{-y^2} \; dy= \sqrt{\pi}/2 - \int^{\infty}_{0} e^{-y^2} \; dy = \sqrt{\pi}/2- \sqrt{\pi}/2 = 0[/mm]
Ein bischen umständlich villeicht, aber OK. 
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 07:54 Di 11.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn du das Integral von 0 bis [mm]\infty[/mm] betrachtest so kannst
> du über eine Substitution hier die Gamma Funktion
> reinbekommen, welche einen festen Wert in Abhängigkeit von
> n liefert.
Nein, denn es steht ein [mm] $y^2$ [/mm] in der Exponentialfunktion. Es kommt die Fehlerfunktion heraus.
Durch Substitution [mm] $x=y^2$ [/mm] kommst du auf die unvollständige Gammafunktion, und das hilft dir nicht weiter.
Viele Grüße
Rainer
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