Integral sin^3(x)*cos^6(x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Do 08.02.2007 | | Autor: | gary06 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{} {sin^3*(x)*cos^6*(x)}\, [/mm] dx |
Wie löse ich dieses Integral? Ich weiß das ich es mit Substitution machen kann /sollte aber mir fällt keine Lösung ein bei der ich mich nicht mehrmals im Kreis drehe oder ich ein ungültiges (langes) Ergebnis erziele.
Mfg
Gary
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Hallo!
Forme erstmal so um:
[mm] $\int \sin^3(x)\cos^6(x)dx=\int\sin(x)*(1-\cos^2(x))\cos^6(x)dx$.
[/mm]
Und dann probier mal die Substitution [mm] $y=\cos(x)$...
[/mm]
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Do 08.02.2007 | | Autor: | gary06 |
was muss ich dann bei der rücksubstitution von [mm] y^n [/mm] beachten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Do 08.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
brauchst du das unbest. Integral oder mit Grenzen? dann tausch besser die Gr.
sonst einfach [mm] y^n=(cosx)^n [/mm] , [mm] x=arccosy^{1/n}
[/mm]
oder versteh ich die frage falsch?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Do 08.02.2007 | | Autor: | gary06 |
ich brauch das unbestimmte integral. Mir sind keine Grenzen gegegeben die antwort lautet nur das obige Integral zu lösen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Do 08.02.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist noch ne offene Frage?
leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Do 08.02.2007 | | Autor: | gary06 |
Ja denn wenn ich nun [mm] y^n [/mm] = [mm] cos^n(x) [/mm] setze
[mm] \int_{}^{}{sin(x)y^6-sin(x)y^8}
[/mm]
mit partieller Integration
[mm] 1/7sin(x)y^7-6cos(x)y^5-(1/9sin(x)y^9-8cos(x)y^7)
[/mm]
was muss ich nun machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Do 08.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gary!
Du hast hier die Substitution falsch angewandt:
[mm] $\integral{\sin^3(x)*\cos^6(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin(x)*\left[1-\cos^2(x)\right]*\cos^6(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{\sin(x)*\left[\cos^6(x)-\cos^8(x)\right] \ dx}$
[/mm]
Nun die genannte Subsitution $y \ := \ [mm] \cos(x)$ [/mm] . Dabei müssen wir aber auch das Differential [mm] $d\red{x}$ [/mm] in [mm] $d\red{y}$ [/mm] umwandeln:
$y' \ = \ [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] \ = \ [mm] -\sin(x)$ $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] -\bruch{dy}{\sin(x)}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\integral{\sin(x)*\left[y^6-y^8\right] \ \left[-\bruch{dy}{\sin(x)}\right]} [/mm] \ = \ [mm] -\integral{y^6-y^8 \ dy} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 08.02.2007 | | Autor: | gary06 |
das integral ausgerechnet ergäbe ja dann
[mm] -1/7y^7+1/9y^9
[/mm]
kann ich dann y=cos(x) setzen dann würde ja
[mm] -1/7cos^7(x)+1/9cos^9(x) [/mm] rauskommen?
Ich steh grade auf dem Schlauch und denke das ich Substitution so ganz und gar FALSCH verstanden habe in der Vorlesung.
Danke für die Hilfe bis jetzt und wenn noch etwas Hilfe für mein Verständnis beim letzten Schritt drin wär wär ich sehr dankbar :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Do 08.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gary!
Wenn Du nun noch die Integrationskonstante $+ \ C$ hinten anhängst (da es sich schließlich um ein unbestimmtes Integral handelt), stimmt Deine Lösung nun.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 08.02.2007 | | Autor: | gary06 |
Aber wenn ich es mit
![[]](/images/popup.gif) http://integrals.wolfram.com/index.jsp
rechne kommt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und leite ich unser Ergebnis ab komme ich mit MuPad auf:
[mm] cos(x)^6*sin(x)-cos(x)^8*sin(x) [/mm] ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Do 08.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gary!
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dieses Ergebnis unterscheidet sich wirklich von unserem Ergebnis; allerdings nur in einer Konstanten.
Denn Du kannst hier ersetzen: [mm] $\cos(2x) [/mm] \ = \ [mm] 2*\cos^2(x)-1$
[/mm]
> und leite ich unser Ergebnis ab komme ich mit MuPad auf:
> [mm]cos(x)^6*sin(x)-cos(x)^8*sin(x)[/mm] ?
Ist doch wunderbar! Klammere [mm] $\sin(x)*\cos^6(x)$ [/mm] aus und ersetze [mm] $1-\cos^2(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin^2(x)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Do 08.02.2007 | | Autor: | gary06 |
Okay Vielen Dank jetzt hab ichs endlich verstanden :)
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