Integral über Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei $f(z) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}$ [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm] $R\in(0,\infty]$ [/mm] und sei [mm] $r\in[0,R)$. [/mm] Zeige, dass dann gilt: [mm] $\int_{0}^{2*\pi}|f(r*e^{i*t})|^{2} [/mm] dt = [mm] 2*\pi*\sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}|^{2}*r^{2*k}$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe mir überlegt, dass das ja im Grunde die ![[]](/images/popup.gif) Parsevalsche Gleichung für die Fourier-Reihen ist. Die Aufgabe kommt aber aus einer Funktionentheorie-Vorlesung und ich weiß nicht, ob ich das überhaupt verwenden darf.
Ansonsten habe ich aber keine Ahnung, wie ich da rangehen sollte, und brauche einen Tipp  (Oder eine Absage, dass obiges die "einzige Möglichkeit" ist)
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Mo 10.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Es sei [mm]f(z) = \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm] eine
> Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm]R\in(0,\infty][/mm] und sei
> [mm]r\in[0,R)[/mm]. Zeige, dass dann gilt:
> [mm]\int_{0}^{2*\pi}|f(r*e^{i*t})|^{2} dt = 2*\pi*\sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}|^{2}*r^{2*k}[/mm].
>
> Hallo!
>
> Ich habe mir überlegt, dass das ja im Grunde die
> Parsevalsche Gleichung
> für die Fourier-Reihen ist. Die Aufgabe kommt aber aus
> einer Funktionentheorie-Vorlesung und ich weiß nicht, ob
> ich das überhaupt verwenden darf.
>
> Ansonsten habe ich aber keine Ahnung, wie ich da rangehen
> sollte, und brauche einen Tipp (Oder eine Absage, dass
> obiges die "einzige Möglichkeit" ist)
Überleg dir mal, welches komplexe Wegintegral gerade
[mm]\int_{0}^{2*\pi}|f(r*e^{i*t})|^{2} dt[/mm]
ergibt, also welchen Integranden du über welchen Weg integrieren musst! (Der Weg sollte offensichtlich sein, und den Integranden bekommst du durch etwas probieren heraus.)
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Antwort!
> Hallo Stefan!
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> > Es sei [mm]f(z) = \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm] eine
> > Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm]R\in(0,\infty][/mm] und sei
> > [mm]r\in[0,R)[/mm]. Zeige, dass dann gilt:
> > [mm]\int_{0}^{2*\pi}|f(r*e^{i*t})|^{2} dt = 2*\pi*\sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}|^{2}*r^{2*k}[/mm].
> Überleg dir mal, welches komplexe Wegintegral gerade
>
> [mm]\int_{0}^{2*\pi}|f(r*e^{i*t})|^{2} dt[/mm]
>
> ergibt, also welchen Integranden du über welchen Weg
> integrieren musst! (Der Weg sollte offensichtlich sein, und
> den Integranden bekommst du durch etwas probieren heraus.)
Mmh...
Ich komme auf:
Weg: [mm] $\phi(t) [/mm] = [mm] r*e^{i*t}$ ($0\le t\le 2*\pi$),
[/mm]
Integral: [mm] $\int_{\phi}\frac{|f(z)|^{2}}{i*z}dz$ [/mm] (weil [mm] $\phi'(t) [/mm] = [mm] i*\phi(t)$ [/mm] ).
Stimmt das?
Und was genau mache ich jetzt damit ?
Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Di 11.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine Antwort!
>
> > Hallo Stefan!
> >
> > > Es sei [mm]f(z) = \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm] eine
> > > Potenzreihe mit Konvergenzradius [mm]R\in(0,\infty][/mm] und sei
> > > [mm]r\in[0,R)[/mm]. Zeige, dass dann gilt:
> > > [mm]\int_{0}^{2*\pi}|f(r*e^{i*t})|^{2} dt = 2*\pi*\sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}|^{2}*r^{2*k}[/mm].
>
>
> > Überleg dir mal, welches komplexe Wegintegral gerade
> >
> > [mm]\int_{0}^{2*\pi}|f(r*e^{i*t})|^{2} dt[/mm]
> >
> > ergibt, also welchen Integranden du über welchen Weg
> > integrieren musst! (Der Weg sollte offensichtlich sein, und
> > den Integranden bekommst du durch etwas probieren heraus.)
>
> Mmh...
> Ich komme auf:
>
> Weg: [mm]\phi(t) = r*e^{i*t}[/mm] ([mm]0\le t\le 2*\pi[/mm]),
>
> Integral: [mm]\int_{\phi}\frac{|f(z)|^{2}}{i*z}dz[/mm] (weil
> [mm]\phi'(t) = i*\phi(t)[/mm] ).
>
> Stimmt das?
Richtig.
> Und was genau mache ich jetzt damit ?
Siehe Freds Antwort. Für Punkt 2 kannst du z.B. das Cauchyprodukt von Reihen benutzen.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:47 Di 11.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
1. [mm] $|f|^2= f*\overline{f}$
[/mm]
2. Mit 1. überlege Dir, dass [mm] $|f(re^{it})|^2 [/mm] $ geschrieben werden kann in der Form
(*) [mm] $|f(re^{it})|^2 [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}|^{2}\cdot{}r^{2\cdot{}k} +A_1(r) e^{it}+B_1(r)e^{-it}+ [/mm] ....$
Für festes r [mm] \in [/mm] (0,R) konvergiert die Reihe gleichmäßig auf [0,2 [mm] \pi]
[/mm]
3. Integriere (*) gliedweise
FRED
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Hallo Rainer, hallo Fred,
danke für eure Tipps!
Werde das gleich mal ausprobieren!
Grüße,
Stefan
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Hallo,
habe mich nun mal daran versucht:
$f(z) = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \overline{f(z)} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}\overline{a_{k}}*\overline{z}^{k}$,
[/mm]
also mit Cauchy-Produkt:
[mm] $f(z)*\overline{f(z)} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}*\overline{a_{n-k}}*z^{k}*\overline{z}^{n-k}$
[/mm]
Mit $z = [mm] r*e^{i*t}$ [/mm] komme ich auf:
$= [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{r^{n}}{(e^{i*t})^{n}}*\sum_{k=0}^{n}a_{k}*\overline{a_{n-k}}*(e^{i*t})^{2*k}$
[/mm]
Aber wie komme ich so auf den Ausdruck
> (*) [mm]|f(re^{it})|^2 = \sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}|^{2}\cdot{}r^{2\cdot{}k} +A_1(r) e^{it}+B_1(r)e^{-it}+ ....[/mm]
von Fred? Ich kriege doch in der inneren Summe nur für n gerade überhaupt zweimal denselben Faktor [mm] a_{n/2}...
[/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Di 11.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> habe mich nun mal daran versucht:
>
> [mm]f(z) = \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \overline{f(z)} = \sum_{k=0}^{\infty}\overline{a_{k}}*\overline{z}^{k}[/mm],
>
> also mit Cauchy-Produkt:
>
> [mm]f(z)*\overline{f(z)} = \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}*\overline{a_{n-k}}*z^{k}*\overline{z}^{n-k}[/mm]
>
> Mit [mm]z = r*e^{i*t}[/mm] komme ich auf:
>
> [mm]= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{r^{n}}{(e^{i*t})^{n}}*\sum_{k=0}^{n}a_{k}*\overline{a_{n-k}}*(e^{i*t})^{2*k}[/mm]
>
> Aber wie komme ich so auf den Ausdruck
>
> > (*) [mm]|f(re^{it})|^2 = \sum_{k=0}^{\infty}|a_{k}|^{2}\cdot{}r^{2\cdot{}k} +A_1(r) e^{it}+B_1(r)e^{-it}+ ....[/mm]
>
> von Fred? Ich kriege doch in der inneren Summe nur für n
> gerade überhaupt zweimal denselben Faktor [mm]a_{n/2}...[/mm]
Ja, und? Du hast doch
[mm] = \summe_{n=0}^{\infty} r^n \summe_{k=0}^{n}a_{k}*\overline{a_{n-k}}*(e^{it})^{2k-n} [/mm],
und Freds Darstellung ist nur eine Umordnung mit $l=2k-n$ als neuem Summationsindex, wobei l+n gerade sein muss. Das k von 0 bis n läuft, läuft $l=2k-n$ von $-n$ bis $+n$:
[mm] = \summe_{n=0}^{\infty} r^n \summe_{\substack{l=-n\\\text{$l+n$ gerade}}}^{+n} a_{(n+l)/2} \overline{a_{(n-l)/2}} \,e^{ilt} [/mm]
Wenn dir das nicht einleuchtet, dann rechne das Integral aus, das kannst du ja jetzt einfach gliedweise tun.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen Dank! Es hat "Klick!" gemacht
Dann werde ich am besten nicht weiter an der Summe rumfummeln. Ich weiß ja bereits, dass ich gliedweise integrieren darf. Und das Integral von [mm] e^{i*t*m} [/mm] über t von 0 bis [mm] 2*\pi [/mm] ist ja 0, wenn nicht m = 0 ist.
Grüße,
Stefan
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