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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Integral über Residuensatz
Integral über Residuensatz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral über Residuensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:03 So 26.02.2006
Autor: Maiko

Ich hätte mal eine Frage zur Bestimmung folgenden Integrals. Die Kurve C ist ein geschlossener Halbkreis, was mir ermöglicht, das Integral mit Hilfe  des Residuensatzes zu lösen:

[mm] \integral_{C}^{}{\frac{1}{z^4+1}dz} [/mm]

Es treten nur zwei Singularitäten auf, da die anderen beiden außerhalb der Kurve liegen.

[mm] z_1=\frac{\wurzel(2)}{2}+\frac{\wurzel(2)}{2}*i [/mm]
[mm] z_2=-\frac{\wurzel(2)}{2}+\frac{\wurzel(2)}{2}*i [/mm]

Nun zur Berechnungsformel für das erste Residuum:

[mm] Res(f,z_1)=\lim_{z \to z_1}[(z-(\frac{\wurzel{2}}{2}+\frac{\wurzel{2}}{2}*i))*\frac{1}{(z-(\frac{\wurzel{2}}{2}+ \frac{\wurzel{2}}{2}*i))*(z-(-\frac{\wurzel{2}}{2}+\frac{\wurzel{2}}{2}*i))* (z-(\frac{\wurzel{2}}{2}-\frac{\wurzel{2}}{2}*i))*(z-(-\frac{\wurzel{2}}{2}-\frac{\wurzel{2}}{2}*i))}] [/mm]

Nun kürzt sich hier etwas. Wenn ich allerdings den Grenzwert bilde, dann kommt ein undefinierter Ausdruck raus. Wo ist hier der Fehler? Sehe ihn heut nicht mehr?

        
Bezug
Integral über Residuensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:33 Mo 27.02.2006
Autor: Leopold_Gast

Der einzige Fehler ist wohl, daß du einen Fehler in deiner Rechnung zu erkennen vermeintest. Die scheint aber richtig so. Mit deinen Bezeichnungen folgt:

[mm]\operatorname{Res} \left( f , z_1 \right) = \lim_{z \to z_1} \left( \left( z - z_1 \right) \cdot \frac{1}{\left( z - z_1 \right) \left( z + z_1 \right) \left( z - z_2 \right) \left( z + z_2 \right)} \right) = \frac{1}{2 z_1 \left( z_1 - z_2 \right) \left( z_1 + z_2 \right)} = \frac{1}{2 z_1 \left( z_1^2 - z_2^2 \right)}[/mm]

Und hier wird offensichtlich kein Faktor im Nenner 0, wie man dem vorletzten Ausdruck unmittelbar ansieht.

Bezug
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