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Forum "Uni-Analysis" - Integral von Sinus und Cosinus
Integral von Sinus und Cosinus < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral von Sinus und Cosinus: Anfang Substitution
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:49 Do 12.01.2006
Autor: JeanLuc

Aufgabe
Berechen Sie mit Substitution  [mm] \integral cos^{3}x+sin^{2}x [/mm] dx

Ich habe es mit der Substitution [mm] y=sin^{2}x [/mm] versucht, allerdings komme ich da nicht richtig hin.

Passt das mit der Substitution y, oder ist was anderes besser?

        
Bezug
Integral von Sinus und Cosinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Do 12.01.2006
Autor: Pacapear

Und wenn du das Integral aufspaltest in [mm] \integral cos^{3}x [/mm] dx + [mm] \integral sin^{2}x? [/mm]

Und dann jedes Integral mit partieller Integration löst?

LG, Nadine

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Integral von Sinus und Cosinus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Do 12.01.2006
Autor: matrinx

Hallo!

Macht meiner Meinung nach auch mehr Sinn. Als Substitution käme was mim tangens in Frage, ich zweifel aber dran. Zum Testen mal

[mm] u = tan (\frac{x}{2})[/mm]

dann ist

[mm] sin x = \frac{2u}{1+u^{2}} [/mm], [mm] cos x = \frac{1-u^{2}}{1+u^{2}} [/mm] und
[mm] dx = \frac{2}{1+u^{2}} du [/mm]

dann ist das Integral nur noch n "normaler" Bruch, Partialbruchzerlegung evtl.?

Grüsse
[mm] Martin [/mm]

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Integral von Sinus und Cosinus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Do 12.01.2006
Autor: JeanLuc

sorry, habe mich vertippt. es muss [mm] sin^{2}x*cos^{2}x [/mm] heißen, sorry

mfg
jeanluc

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Integral von Sinus und Cosinus: nochmal vertippt?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 Do 12.01.2006
Autor: piet.t

Hallo,

hast Du Dich vielleicht nochmal vertippt?
[mm]\int \cos^3 x \sin^2 x dx[/mm] wäre nämlich gar nicht tragisch....
Substituiere [mm] y = \sin x [/mm], dann ist
[mm]\frac{dy}{dx} = \cos x[/mm]
also
[mm]dy = \cos x dx[/mm]

Beachtet man dann noch, dass [mm]\cos^2 x = 1 - \sin^2 x[/mm] ist man eigentlich schon am Ziel.

Gruß

piet


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Integral von Sinus und Cosinus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Do 12.01.2006
Autor: JeanLuc

ja, hatte mich ochmal vertippt. Danke, die Idee, dass mit sinx=1-cosx ist mir auch schon gekommen, hatte ich aber schnell verworfen, da ich mir nicht sicher war ob das so geht!

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Bezug
Integral von Sinus und Cosinus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Do 12.01.2006
Autor: JeanLuc

so, und in der durchführung hängst nun mal wieder:

[mm] \integral cos^{3}x*sin^{2}x [/mm] dx wäre ja somit [mm] \integral \bruch{cos^{3}x}{cosx}*y^2 [/mm] dy

Allerdings darf ich ja kein x mehr haben, und wenn ich die Subsitution y=sinx nach x umstelle, müsste ich ja den arcsin betrachten, das kanns aber ja auch nicht sein..........., oder?

Da hilft dann auch die umstelllung nach [mm] 1-sin^{2}x [/mm] nichts....

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Bezug
Integral von Sinus und Cosinus: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Do 12.01.2006
Autor: MathePower

Hallo JeanLuc,

> so, und in der durchführung hängst nun mal wieder:
>  
> [mm]\integral cos^{3}x*sin^{2}x[/mm] dx wäre ja somit [mm]\integral \bruch{cos^{3}x}{cosx}*y^2[/mm]
> dy
>  
> Allerdings darf ich ja kein x mehr haben, und wenn ich die
> Subsitution y=sinx nach x umstelle, müsste ich ja den
> arcsin betrachten, das kanns aber ja auch nicht
> sein..........., oder?

Umstellen ist hier fehl am Platze. Die Substitution muß abgeleitet werden:

[mm] \begin{gathered} y\; = \;\sin \;x \hfill \\ \Rightarrow \;dy\; = \;\cos \;x\;dx \hfill \\ \end{gathered} [/mm]


>  
> Da hilft dann auch die umstelllung nach [mm]1-sin^{2}x[/mm]
> nichts....

Bei richtiger Anwendung hilft diese Umstellung schon.

Gruß
MathePower

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