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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:54 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Druss |
Hallo zusammen,
ich muss dazu sagen, dass ich keine wirklich fundierten Kenntnisse bzgl Integrationen von Funktionen welche Vektoren und Matrizen enthalten haben. Lediglich aus Analysis kenne ich das Integrieren von 1-dimensionalen Funktionen.
Ich studiere Statistik und aus diesem Kontext entspringt auch die folgende log-Likelihood-Funktion.
Erstmal die Funktionen:
[mm] L(\beta,\gamma) [/mm] = [mm] \frac{1}{(2\pi)^{\frac{N}{2}}|V|^{\frac{1}{2}}}exp\left(-\frac{1}{2}(y-X\beta)^TV^{-1}(y-X\beta)\right)
[/mm]
Im Grunde handelt es sich bei der obigen Funktion um eine mutivariat normalverteilte Zufallsvariable.
Dabei ist
y ein nx1-Vektor,
V eine nicht singuläre, symmetrische nxn-Matrix,
[mm] \beta [/mm] ein px1-Vektor,
X eine nicht singuläre nxp-Matrix.
Nun wende ich auf die obige Funktion den log an und erhalte folgendes:
[mm] l(\beta,\gamma) [/mm] = [mm] log\left(L(\beta,\gamma)\right) [/mm] = [mm] -\frac{N}{2}log(2\pi) [/mm] - [mm] \frac{1}{2}\left(log(|V|)+(y-X\beta)^TV^{-1}(y-X\beta)\right).
[/mm]
Dies entspricht der log-Likelihoodfunktion.
Nun zu dem was ich berechnen möchte:
[mm] l_R(\gamma) [/mm] = [mm] log\left(\int L(\beta,\gamma) d\beta\right)
[/mm]
Ich habe jedoch keine Ahnung wie ich weiter vorgehen soll... ;) Die Funktion soll nachdem nach [mm] \beta [/mm] integriert wurde nicht mehr diesem Parameter abhängen (da wir diesen ja "rausingegrieren").
Vlt kann man ja den Sachverhalt ausnutzen, dass man log und int vertauschen kann und anstelle [mm] L(\beta,\gamma) [/mm] die Funktion [mm] l(\beta,\gamma) [/mm] integrieren.
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mo 05.09.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Das hier
[mm] $-\frac{1}{2}(y-X\beta)^TV^{-1}(y-X\beta)$
[/mm]
ist eine reelle Zahl. Wenn Du's ausmultiplizierst kriegst Du einen Term der Form
$K + [mm] \sum_i a_i \beta_i [/mm] + [mm] \sum_i \sum_j b_{i,j} \beta_i \beta_j$
[/mm]
und da kannst Du komponentenweise integrieren. (wird aber häßlich)
> Vlt kann man ja den Sachverhalt ausnutzen, dass man log und int vertauschen kann und anstelle $ [mm] L(\beta,\gamma) [/mm] $ die Funktion $ [mm] l(\beta,\gamma) [/mm] $ integrieren.
wieso kann man das?
ciao
Stefan
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