Integral von e^(-x^2) und ... < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mo 05.06.2006 | | Autor: | tempo |
| Aufgabe | Vorgegeben seien die Funktionen F,G: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit
F(x):=( [mm] \integral_{0}^{x}{e^{-t^{2}} dt} )^{2} [/mm] , G(x):= [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{-x^{2}*(1+t^{2})}}{1+t^{2}} dt}.
[/mm]
a) Zeigen Sie: F und G sind differenzierbar und es gilt
F' + G' = 0, F + G = [mm] \bruch{\pi}{4}.
[/mm]
b) Berechnen Sie mit a) den Wert des Fehlerintegrals [mm] \integral_{- \infty}^{\infty}{e^{-t^{2}} dt} [/mm] !
Begründen Sie jeden Schritt, in welchem Sie Vertauschungen von Limites durchführen! |
Hi Mathekollegen, ich habe hier so eine "schöne" Aufgabe das ich sie nicht für mich behalten kann ;)
also mein Problem liegt am Integral! Habe nach Stunden keins rausbekommen und habe es dann mit e-Funktion als Potenzreihe versucht. Für F(x) klappt das auch ganz gut (falls ich mich nicht verrechnet habe) und da habe ich
F(x)=(-x - [mm] \bruch{x^{3}}{3*1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5*2!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{7}}{7*3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{9}}{9*4!} [/mm] - [mm] ...)^{2} [/mm] und damit
F'(x)= 2*( "^^ komplette klammer^^ ) * [mm] e^{-x^{2}}
[/mm]
für G(x) werden die terme leider sehr viel komplizierter! und zwar so das ich keinen "zusammenhang" erkennen kann... sogar "derive" kann mir da nicht helfen da es bei F(x) eine "Errorfunktion= [mm] \bruch{2}{\wurzel{\pi}} [/mm] ..." und bei G(x) das Integral nur vereinfacht und nichts weiter liefert! Ich werde zwar bei (F+G) und bei der b) nicht ums Fehlerintegral/Errorfunktion drumherrumkommen (auch wenn wir es noch nicht hatten) aber F'+G'=0 sollte doch auch ohne drin sein, oder? auf jedenfall bin ich im mom. soweit das ich F'+G'=0 gezeigt habe wenn ich zeigen kann das
2*(-x - [mm] \bruch{x^{3}}{3*1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5*2!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{7}}{7*3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{9}}{9*4!} [/mm] - ...) = [mm] \bruch{d}{dx} \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{-x^{2}*t^{2}}}{1+t^{2}} dt} [/mm] ist!
mit dank im voraus hoffe ich auf tips/hinweise oder sonstiges... habe die frage in keinem anderen forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mo 05.06.2006 | | Autor: | andreas |
hi
also erstmal nur ein paar tipps: der beste ist die aussage "Begründen Sie jeden Schritt, in welchem Sie Vertauschungen von Limites durchführen!", das heißt es bietet sich bei der aufgabe an, ein paar limites zu vertauschen. das erstem mal schon beim berechnen der ableitungen: für $F'$ erhält man
[m] F'(x) = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^2 = 2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^1(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) = 2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)( \int_0^x \frac{\partial}{\partial t} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t + (x)'\textrm{e}^{-x^2} + 0' \textrm{e}^{-0^2}) = 2( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) ( \int_0^x \frac{\partial}{\partial t} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t + \textrm{e}^{-x^2}) [/m]
dabei wurde im ersten schritt die kettenregel angewandt und danach eine regel zum differenzieren parameterabhängiger integrale (sowas müsst ihr in der vorlesung gehebat haben, sonst siehe ![[]](/images/popup.gif) hier). den letzten ausdruck sollte man nun noch etwas vereinfachen können. genauso geht man zur berechnung von $G'$ vor und wird dann sehen, dass die ausdrücke genau das negative voneinenader sind. danit ist aber $F + G$ onstant und es bietet sich an, den wert durch berechnung von $(F + G)(0) = F(0) + G(0)$ zu ermitteln.
um die aufgabe b) zu lösen genügt es [m] \lim_{x \to \infty} F(x) [/m] zu berechnen. überlege dir am besten, was [m] \lim_{x \to \infty} G(x) [/m] ist und was man aus der konstanz der summe folgern kann.
dabei sind einige schritte noch genauer zu begründen. probiere dies aber zuerst einmal selbst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Mo 05.06.2006 | | Autor: | tempo |
WOW - Danke! Die Regel zum differenzieren parameterabhängiger Integrale sehe ich zwar zum ersten mal aber sie gibt mir neue möglichkeiten an die Aufgabe ranzugehen... Ich bin zwar nur mal kurz "drübergeflogen" aber müsste es nicht nach der Kettenregel heißen:
$ F'(x) = [mm] \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} [/mm] ( [mm] \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^2 [/mm] = 2 ( [mm] \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^1(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) [/mm] = 2 ( [mm] \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)( \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t [/mm] + [mm] (x)'\textrm{e}^{-x^2} [/mm] - 0' [mm] \textrm{e}^{-0^2}) [/mm] = 2( [mm] \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) [/mm] ( [mm] \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t [/mm] + [mm] \textrm{e}^{-x^2}) [/mm] $ ???
und wie müsste ich dann in der letzten klammer vorgehen? denn partielle ableitung von [mm] e^{-t^{2}} [/mm] nach x wäre ja 0, wodurch das Integrall (in letzter klammer) = 0 wäre??? denn so wie es oben (in der antwort) steht würden sich ja die partielle ableitung nach t und integral nach t "kürzen" da es ja nur eine variable (t) gibt und damit partielle ableitung = d/dx ist, oder irre ich mich da? ich versuche es jetzt erstmal mit der Regel zum differenzieren parameterabhängiger Integrale auf G(x). danke nochmal für diese regel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mo 05.06.2006 | | Autor: | tempo |
oh halt sehe gerade das wenn ich [mm] e^{-t^{2}} [/mm] nach x partiell ableite bekomme ich zwar 0 aber integral von 0 nach dt ist ja irgendeine konstante! hmm... muss jetzt erstmal was versuchen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 05.06.2006 | | Autor: | tempo |
hmm die 2te ;)
merke gerade das G(x) gar nicht parameterabhängig ist... bin also genauso weit wie vorher
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Viel zu umständlich! aber:
> [mm]F'(x) = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^2 =2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^1(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)
ab hier falsch! so machst du die Ableitung nach der oberen Grenze Immer zu 0!
[mm](\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)
=\textrm{e}^{-t^2} \[/mm]
= 2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)( \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t + (x)'\textrm{e}^{-x^2} - 0' \textrm{e}^{-0^2}) = 2( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) ( \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t + \textrm{e}^{-x^2})[/mm]
> ???
> und wie müsste ich dann in der letzten klammer vorgehen?
> denn partielle ableitung von [mm]e^{-t^{2}}[/mm] nach x wäre ja 0,
> wodurch das Integrall (in letzter klammer) = 0 wäre??? denn
> so wie es oben (in der antwort) steht würden sich ja die
> partielle ableitung nach t und integral nach t "kürzen" da
> es ja nur eine variable (t) gibt und damit partielle
> ableitung = d/dx ist, oder irre ich mich da? ich versuche
> es jetzt erstmal mit der Regel zum differenzieren
> parameterabhängiger Integrale auf G(x). danke nochmal für
> diese regel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Viel zu umständlich! aber:
> [mm]F'(x) = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^2 =2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^1(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) [/mm]
ab hier falsch! so machst du die Ableitung nach der oberen Grenze Immer zu 0!
[mm](\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)
=\textrm{e}^{-x^2} \[/mm]
>[mm]= 2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)( \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t + (x)'\textrm{e}^{-x^2} - 0' \textrm{e}^{-0^2}) = 2( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) ( \int_0^x \frac{\partial}{\partial x} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t + \textrm{e}^{-x^2})[/mm]
> ???
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Mo 05.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> also erstmal nur ein paar tipps: der beste ist die aussage
> "Begründen Sie jeden Schritt, in welchem Sie Vertauschungen
> von Limites durchführen!", das heißt es bietet sich bei der
> aufgabe an, ein paar limites zu vertauschen. das erstem mal
> schon beim berechnen der ableitungen: für [mm]F'[/mm] erhält man
>
> [m]F'(x) = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^2 = 2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^1(\frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) = 2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)( \int_0^x \frac{\partial}{\partial t} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t + (x)'\textrm{e}^{-x^2} + 0' \textrm{e}^{-0^2}) = 2( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) ( \int_0^x \frac{\partial}{\partial t} \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t + \textrm{e}^{-x^2}) [/m]
Das geht auch noch einfacher (und es kommt was einfacheres heraus): Nach dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechung ist [mm] $\frac{d}{dx} \int_0^x [/mm] f(t) [mm] \; [/mm] dt = f(x)$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:27 Mo 05.06.2006 | | Autor: | andreas |
hi
> Das geht auch noch einfacher (und es kommt was einfacheres
> heraus): Nach dem Hauptsatz der Integral- und
> Differentialrechung ist [mm]\frac{d}{dx} \int_0^x f(t) \; dt = f(x)[/mm].
offensichtlich habe ich da wohl etwas weit ausgeholt. es geüngt natürlich produktregel und der hauptsatz der differential- und integralrechnung, wie er hier zitiert wurde. desnn dann gilt
[m] \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t)^2 = \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} \left[ ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) \cdot ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) \right] = 2 ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x} ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) = 2 \textrm{e}^{-x^2} ( \int_0^x \textrm{e}^{-t^2} \, \textrm{d}t) [/m]
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo tempo
Wenn du [mm] F(x)=f^{2}(x) [/mm] schreibst ist F' =2f*f' also [mm] 2e^-x^{2}*f(x)
[/mm]
Dann ist leicht zu zeigen, das G'+F' =0 (Gunter dem Integral diffz, dann [mm] 2e^{-x^{2}} [/mm] rausziehen und mit der Substitution y=x*t in f(x) verwandeln) damit ist klar dass F+G=const.
b) Da du G(0)ausrechnen kannst, und F(0)=0 hast du die [mm] \pi/4.
[/mm]
Das Integral ersetzest du durch in 2* [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mo 05.06.2006 | | Autor: | tempo |
> ... Dann ist leicht zu zeigen, das G'+F' =0 (Gunter dem
> Integral diffz, dann [mm]2e^{-x^{2}}[/mm] rausziehen und mit der
> Substitution y=x*t in f(x) verwandeln) damit ist klar
> dass F+G=const.
> b) Da du G(0)ausrechnen kannst, und F(0)=0 hast du die
> [mm]\pi/4.[/mm]
> Das Integral ersetzest du durch in 2*
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-x^{2}} dx}[/mm]
> Gruss leduart
tut mir leid aber mir ist noch nicht klar warum F+G=const. ist. wenn ich
> ...(Gunter dem Integral diffz, dann [mm]2e^{-x^{2}}[/mm] rausziehen...
dann bin ich doch bei "G'(x)" ??? sehe einfach nicht warum F+G=const. ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Mo 05.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Tempo
Die Funktion h=G+F hat die Ableitung h'=0 für alle x! daraus folgt h=const.
2. du leitest G(x) nicht "partiell" ab, G(x) hängt nur von x, nicht von t ab! t ist nur ne Integrationsvariable!
Dass du es differenzieren kannst folgt aus allgemeine sätzen, stetig in x Integrand stetig und beschränkt im Intervall, Intervall kompakt usw.
Also kannst du einfach unter dem Integral differenzieren und die entsprechenden Sätze zitieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Mo 05.06.2006 | | Autor: | tempo |
also gut ich denke F' + G' = 0 habe ich jetzt mit euerer hilfe zeigen können! denn:
F(x) = ( - [mm] \bruch{x}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{3*1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5*2!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{7}}{7*3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{9}}{9*4!} [/mm] - [mm] ...)^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] F'(x) = 2*( - [mm] \bruch{x}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{3*1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5*2!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{7}}{7*3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{9}}{9*4!} [/mm] - ...) * ( - [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{2!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{6}}{3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{8}}{4!} [/mm] - ...)
= 2*( - [mm] \bruch{x}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{3*1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5*2!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{7}}{7*3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{9}}{9*4!} [/mm] - ...) * [mm] e^{-x^{2}}.
[/mm]
G(x)' = [mm] \bruch{d}{dx} \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{-x^{2}*(1+t^{2})}}{1+t^{2}} dt}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{\partial}{\partial x}\bruch{e^{-x^{2}*(1+t^{2})}}{1+t^{2}} dt} [/mm] = ... =
= [mm] -2*x*e^{-x^{2}}*( [/mm] - [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{2}}{3*1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{4}}{5*2!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{6}}{7*3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{8}}{9*4!} [/mm] - ...)
= [mm] -2*e^{-x^{2}}*( [/mm] - [mm] \bruch{x}{0!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{3}}{3*1!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{5}}{5*2!} [/mm] - [mm] \bruch{x^{7}}{7*3!} [/mm] + [mm] \bruch{x^{9}}{9*4!} [/mm] - ...)
= -1 * F'(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] F' + G' = 0 !
dabei muss ich noch begründen warum ich partielle differentiation in das integral ziehen darf, und das darf ich meines wissens nach wenn [mm] (\IR,d) [/mm] ein vollständiger metrischer raum ist, oder?
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