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Forum "Integration" - Integral von f(x) = 0
Integral von f(x) = 0 < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral von f(x) = 0: Übungsaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Di 23.11.2010
Autor: Vilietha

Aufgabe
Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion mit  f ≥ 0 und [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx=0}. [/mm] Zeigen Sie f = 0. Stimmt das auch, wenn f nur als Riemann-integrierbar vorausgesetzt wird?

Hallo zusammen,

Dass f null ist kann ich zeigen.
Ich vermute, dass dies auch stimmt, wenn f nur als Riemann integrierbar vorausgesetzt wird. Liege ich damit richtig, und wie beweist man dies am besten?

Ich freue mich auf Eure Antworten.

Viele Grüße,
Vilietha

        
Bezug
Integral von f(x) = 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Di 23.11.2010
Autor: fred97


> Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion mit  f ≥ 0 und
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx=0}.[/mm] Zeigen Sie f = 0. Stimmt das
> auch, wenn f nur als Riemann-integrierbar vorausgesetzt
> wird?
>  Hallo zusammen,
>  
> Dass f null ist kann ich zeigen.
>  Ich vermute, dass dies auch stimmt, wenn f nur als Riemann
> integrierbar vorausgesetzt wird. Liege ich damit richtig,

Nein.


> und wie beweist man dies am besten?
>  
> Ich freue mich auf Eure Antworten.

Setze f(a)=1 und f(x)=0 für x [mm] \in [/mm] (a,b]

Warum ist f Riemannintegrierbar ?

Warum ist $ [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx=0}. [/mm] $  ?

FRED

>  
> Viele Grüße,
>  Vilietha


Bezug
                
Bezug
Integral von f(x) = 0: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:01 Di 23.11.2010
Autor: Vilietha

Hallo FRED,

Vielen Dank für Deine Antwort.

Was Deine Beispielfunktion f betrifft, so ist sie integrierbar, weil sie nur einen unstetigen Punkt hat. Denn man kann die Fläche unter der Funktion unendlich klein machen bei dem Punkt a von dir. Das Integral über einen Punkt ist also 0, und somit ist das Integral über (a,b] das selbe wie über [a,b].

Ist es in Ordnung, wenn man so argumentiert?

Viele Grüße,
Vilietha

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