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| Aufgabe | | Integrieren Sie: f(x)=sin²x |
Hallo!
Ich komme bei der Integration von f(x)=sin²x nicht weiter...
mit partieller Integration:
[mm] \integral_{}^{}{sin²x dx}=-sinxcosx-\integral_{}^{}{-cos²x dx} [/mm]
= [mm] -sinxcosx+\integral_{}^{}{cos²x dx}
[/mm]
= [mm] -sinxcosx+\integral_{}^{}{1-sin²x dx}
[/mm]
= [mm] -sinxcosx+x-\integral_{}^{}{sin²x dx}
[/mm]
= [mm] -sinxcosx+x+sinxcosx+\integral_{}^{}{sin²x dx}
[/mm]
und nun? ich komme hier nicht weiter... :(
Wäre supi, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich an dieser Stelle weiter komme bzw. was ich falsch gemacht habe.
Danke schonmal!
LG, Jenny
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Bis zu dem vorlestzten Schritt bin ich auch gekommen. Aber leider auch nicht weiter. *traurig guck*
Was hast du denn bei dem letzten Schritt gemacht?
Und wie kommt man da nun weiter?
Muss auch noch sin³x integrieren...Wie macht man das denn? Also weil da ja keine normale partielle Integration geht, oder doch?
Liebe Grüße und Danke im Voraus, Raingirl87
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Hallo Raingirl87!
> Bis zu dem vorlestzten Schritt bin ich auch gekommen. Aber
> leider auch nicht weiter. *traurig guck*
> Was hast du denn bei dem letzten Schritt gemacht?
> Und wie kommt man da nun weiter?
> Muss auch noch sin³x integrieren...Wie macht man das denn?
> Also weil da ja keine normale partielle Integration geht,
> oder doch?
Doch es geht. Man kann sich [mm] \integral{sin^{3}(x) dx} [/mm] auch als [mm] \integral{sin^{2}(x)*sin(x) dx} [/mm] darstellen. Mit diesem 'Trick' und dem Hinweis aus piet's posting sollte das ganze dann auch mittels partieller Integration zu lösen sein. (Gleiches gilt natürlich auch für [mm] cos^{3}(x), [/mm] nur das du dann separat noch [mm] cos^{2}(x) [/mm] integrieren müsstest)
Gruß,
Tommy
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Hallo! Danke für die Hilfe bei sin²x! Das Integral müsste [mm] \bruch{1}{2} sinxcosx+\bruch{x}{2} [/mm] sein.?
Habe die Integration von sin³x nun so gemacht:
[mm] \integral_{}^{}{sin³x dx}=sin²x*(-cosx)-\integral_{}^{}{2sinxcosx*(-cosx) dx}
[/mm]
[mm] =-sinx²cosx+2\integral_{}^{}{sinxcos²x dx}
[/mm]
[mm] =-(1-cos²x)*cosx+2\integral_{}^{}{sinx*(1-sin²x) dx}
[/mm]
[mm] =-cosx+cos³x+2cosx\integral_{}^{}{sin³x dx}
[/mm]
Und wie bekomme ich da nun das sin³x auf die andere Seite? Also mich irritiert jetzt, dass vor dem Integral noch das 2cosx steht...was mache ich damit?
DANKE!
LG, Raingirl87
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Hi, Raingirl,
> Hallo! Danke für die Hilfe bei sin²x! Das Integral müsste
> [mm]\bruch{1}{2} sinxcosx+\bruch{x}{2}[/mm] sein.?
Vorzeichen beachten!
Richtig wäre: - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sinxcosx + [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
> Habe die Integration von sin³x nun so gemacht:
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin³x dx}=sin²x*(-cosx) - \integral{2sinxcosx*(-cosx) dx}[/mm]
>
> [mm]=-sinx²cosx+2\integral_{}^{}{sinxcos²x dx}[/mm]
>
> [mm]=-(1-cos²x)*cosx+2\integral_{}^{}{sinx*(1-sin²x) dx}[/mm]
>
> [mm]=-cosx+cos³x+2cosx\integral_{}^{}{sin³x dx}[/mm]
Das stimmt aber so nicht! Richtig wäre:
-cosx + cos³x - 2cosx - [mm] 2*\integral{sin³x dx} [/mm]
(-cosx - 2 cosx kannst Du noch zusammenfassen!)
Wobei Du irgendwann die Integrationskonstante dazuschreiben solltest!
Hier wär' eigentlich eine gute Gelegenheit; also schreiben wir lieber "noch richtiger":
-cosx + cos³x - 2cosx [mm] \red{+c} [/mm] - [mm] 2*\integral{sin³x dx}
[/mm]
Und nun hast Du insgesamt Folgendes:
[mm] \integral{sin³x dx} [/mm] = -3cosx + cos³x + c - [mm] 2*\integral{sin³x dx} [/mm] | + [mm] 2*\integral{sin³x dx}
[/mm]
[mm] 3*\integral{sin³x dx} [/mm] = -3cosx + cos³x + c | : 3
[mm] \integral{sin³x dx} [/mm] = - cosx + [mm] \bruch{1}{3}cos³x [/mm] + c*
(wobei c* = [mm] \bruch{1}{3}c [/mm] ist)
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Di 31.10.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Jenny,
das sieht doch schon mal recht gut aus. Jetzt fehlt Dir nur noch der letzte Trick, den man bei solchen sin- oder cos-Integralen ab und zu anwenden muss:
> mit partieller Integration:
> [mm]\integral_{}^{}{sin²x dx}=-sinxcosx-\integral_{}^{}{-cos²x dx}[/mm]
> = [mm]-sinxcosx+\integral_{}^{}{cos²x dx}[/mm]
> =
> [mm]-sinxcosx+\integral_{}^{}{1-sin²x dx}[/mm]
> =
> [mm]-sinxcosx+x-\integral_{}^{}{sin²x dx}[/mm]
...an dieser Stelle hörst Du jetzt mit dem Integrieren auf.
Wenn Du den Anfang und das Ende der Umformung jetzt direkt hintereinander schreibst steht da doch:
[mm]\integral_{}^{}{sin²x dx}=-sinxcosx+x-\integral_{}^{}{sin²x dx}[/mm]
Diese Gleichung kann man jetzt einfach nach [mm]\integral_{}^{}{sin²x dx}[/mm] auflösen und hat die Lösung.
> =
> [mm]-sinxcosx+x+sinxcosx+\integral_{}^{}{sin²x dx}[/mm]
> und nun?
> ich komme hier nicht weiter... :(
> Wäre supi, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich an dieser
> Stelle weiter komme bzw. was ich falsch gemacht habe.
> Danke schonmal!
>
> LG, Jenny
Gruß
piet
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