Integral x²/Wurzel(x²-1) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo, Leute!
Ich plage mich gerade mit folgendem uneigentlichen Integral rum:
[mm] \integral_{1}^{\wurzel{5}}{\bruch{x²}{\wurzel{x²-1}} dx}.
[/mm]
Zuvor habe ich [mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{x²}{\wurzel{1-x²}} dx} [/mm] alleine lösen können, aber leider haben die beiden Integrale außer dem Aussehen meiner Meinung nach nicht viel gemeinsam.
Nun zu meinem Ansatz:
[mm] \integral_{1}^{\wurzel{5}}{\bruch{x²}{\wurzel{x²-1}} dx}
[/mm]
x=sint
Aber hier hört es dann schon auf. Wenn ich die Integrationsgrenzen ersetzen wolle, wäre die obere Grenze [mm] arcsin(\wurzel{5}), [/mm] was ja nicht definiert ist. Die arcsin-Funktion verschieben, sodass [mm] \wurzel{5} [/mm] zu ihrem Definitionsbereich gehört, hilft mir auch nicht.
(x=sint+2 [mm] \Rightarrow [/mm] t=arsin(x-2))
Normal integrieren kann ich die Funktion, aber das mit den Grenzen ist hier etwas tückisch.
Laut Derive sollte die Ableitung auch etwas mit ln beinhalten, aber sicher wurde dort wieder etwas undurchsichtig vereinfacht.
Eine Stammfunktion würde so lauten:
[mm] F(x)=\bruch{x*cos(arcsin(x))-arcsin(x)}{2}. [/mm] Aber wie gesagt: mit Grenzen einsetzen geht hier nicht mehr viel.
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Mal eine Idee, die ich allerdings noch nicht ganz bis zum (bitteren  ) Ende gerechnet habe.
Verwende partielle Integration mit [mm] $\bruch{x^2}{\wurzel{1-x^2}} [/mm] \ = \ [mm] x*\bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi und danke für die Antwort erstmal.
Aber dadurch komme ich auch nicht so gut weiter...
Additive Konstanten und Integrationsgrenzen seien erstmal dahingestellt.
[mm] F(x)=\integral_{}^{}{\bruch{x²}{\wurzel{x²-1}}dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{}^{}{\underbrace{x}_{u}*\underbrace{\bruch{x}{\wurzel{x²-1}}}_{v'} dx}
[/mm]
u'=1
[mm] v=\wurzel{x²-1}
[/mm]
[mm] F(x)=x*\wurzel{x²-1}-\integral_{}^{}{\wurzel{x²-1}dx}
[/mm]
Wie ich allerdings [mm] \wurzel{x²-1} [/mm] integrieren kann, weiß ich auch nicht. Ersetzen durch trigonometrische Funktionen bringt an der Stelle auch wieder nichts, partielle Integration auch nich.
Weiß noch jemand Rat?
Übrigens: Ist die Schreibweise mit dem F(x) ok, wenn man voher hinschreibt, dass man nur erstmal eine Stammfunktion ermitteln will?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Deine zweite Teilfunktion lautet: $v' \ = \ [mm] \bruch{x}{\wurzel{1-x^2}}$ [/mm] . Und dieses lässt sich mittels Substitution $z \ := \ [mm] 1-x^2$ [/mm] lösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Ach, vielleicht hätte ich die Aufgabe, die ich davor lösen musste, nicht erwähnen ;)
Der Nenner der Funktion ist [mm] \wurzel{x²-1}, [/mm] nicht [mm] \wurzel{1-x²}!
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
In meiner letzten Antwort war mir noch eine Wurzel "unter den Tisch gefallen".
Aber auch mit dem neuen Nenner geht es genauso ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Ja, aus der Teilfunktion v' habe ich ja schon v herausbekommen mit [mm] v=\wurzel{x²-1}. [/mm] Aber nun muss ich noch folgendes Integral bilden:
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{x²-1} dx}
[/mm]
Da kann ich auch substituieren wie ich will, aber dann kommen noch Brüche gekoppelt mit Wurzeln raus, was auch nicht das Wahre ist ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Substituiere hier $x \ := \ [mm] \cosh(t)$ [/mm] . Anschließend noch [mm] $\cosh^2(t)-\sinh^2(t) [/mm] \ = \ 1$ verwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:13 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Geht das auch irgendwie anders? Weil wir in der Schule diese Funktionen (das waren doch die mit dem [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{-x}, [/mm] oder?) noch nicht hatten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
> Geht das auch irgendwie anders?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") Ich meine, nicht ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hm ok, ich danke dir und abakus trotzdem ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:10 Mo 21.01.2008 | | Autor: | abakus |
Hilft die Identität [mm] \bruch{x^2}{\wurzel{x^2-1}}=\bruch{x^2-1+1}{\wurzel{x^2-1}}=\wurzel{x^2-1}+\bruch{1}{\wurzel{x^2-1}} [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo, danke auch für deine Antwort!
Nein, leider nicht, da stecke ich dann auch bei
[mm] \integral_{}^{}{\wurzel{x²-1} dx}
[/mm]
fest.
Ich weiß nicht, wie ich das ohne sinh(t) bzw. cosh(t) integrieren kann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Teufel!
Jetzt fällt es mir wie Schuppen aus den Haaren ... Du kommst auch schon hier mit der Substitution $x \ := \ [mm] \cosh(t)$ [/mm] ziemlich schnell zum Ziel.
Gruß
Loddar
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