Integral x/(cosx+x) < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 So 04.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich baruche für einen Teil einer Aufgabe folgendes Integral zu bestimmen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{cosx + x} dx} [/mm] oder
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{cosx}{cosx + x} dx}.
[/mm]
Eins von beiden würde mir helfen.
Mir fehlt bis jetzt ein Ansatz. Ich nehme an , dass man hier etwas substituiren soll.
Ich weiß aber nicht , was .
Gruß
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:51 So 04.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
es kann ja auch sein, dass ich das Integral für die Aufgabe gar nicht brauche . Das war meine Idee bei der Aufgabe , das Integral auszurechnen.
Ich werde gleich dann die vollständige Aufgabe posten
Gruß
Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 So 04.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^{2} \to \IR [/mm] die Funktion mit f(x,y) = sin(x+y) + [mm] e^{xy}-1
[/mm]
a) Zeigen Sie, daß die Gleichung f(x,y) =0 in einer Umgebung von (0,0) eindeutig nach y aufgelöst werden kann.
b)Zeigen Sie, daß die so erhaltene Funktion y=g(x) in einer Umgebung von 0 zweimal stetig differenzierbar ist.
c) Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung von g um 0 bis zur Ordnung 2. |
Hallo,
mein g' sieht so aus wie der Integrand.
Deshalb habe ich gedacht, dass wenn ich die Stammfunktion von g' bestimme, bekommt man dann g raus.
Oder soll man bei c) anders vorgehen? Oder , es kann sein,dass ich falsch g' ausgerechnet habe.
Könnt ihr mich bitte korrigieren?
Übrigens , bei der Taylor-Entwicklung soll
[mm] \summe_{k=0}^{2}\bruch{f^{(k)}(0)}{k!}(x-0)^{k} [/mm] berechnet werden?
Gruß
Igor
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Hallo Igor1,
> Sei f: [mm]\IR^{2} \to \IR[/mm] die Funktion mit f(x,y) = sin(x+y) +
> [mm]e^{xy}-1[/mm]
> a) Zeigen Sie, daß die Gleichung f(x,y) =0 in einer
> Umgebung von (0,0) eindeutig nach y aufgelöst werden
> kann.
> b)Zeigen Sie, daß die so erhaltene Funktion y=g(x) in
> einer Umgebung von 0 zweimal stetig differenzierbar ist.
> c) Berechnen Sie die Taylor-Entwicklung von g um 0 bis zur
> Ordnung 2.
> Hallo,
>
> mein g' sieht so aus wie der Integrand.
> Deshalb habe ich gedacht, dass wenn ich die Stammfunktion
> von g' bestimme, bekommt man dann g raus.
> Oder soll man bei c) anders vorgehen? Oder , es kann
Nun, [mm]f\left( \ x,y\left(x\right) \ \right)[/mm] zweimal differenzieren.
> sein,dass ich falsch g' ausgerechnet habe.
Dann poste diese Rechnung, damit wir sehen können,
was eventuell falsch gelaufen ist.
>
> Könnt ihr mich bitte korrigieren?
>
> Gruß
> Igor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 So 04.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hier poste ich f'(x,g(x))
und f''(x,g(x)).
Ich verstehe jedoch nicht , warum wir das brauchen; ich bin anders bei der Aufgabe vorgegangen.
f'(x,g(x))=
[mm] (cos(x+g(x))+e^{xg(x)}(g(x)+xg'(x)), [/mm] cos(x+g(x))g'(x) [mm] +e^{xg(x)}x)
[/mm]
[mm] f''(x,g(x))=(-sin(x+g(x))+e^{xg(x)}(g(x)+xg'(x))(g(x)+xg'(x))+e^{xg(x)}(g'(x)+g'(x)+xg''(x)),-sin(x+g(x))g'(x)+e^{xg(x)}x(g(x)+xg'(x))+e^{xg(x)}
[/mm]
----------------------------unten zweite Zeile der Matrix------------------------------
[mm] -sin(x+g(x))g^{2}'(x)+cos(x+g(x))g''(x)+e^{xg(x)}(g(x)+xg'(x))x+e^{xg(x)},
[/mm]
[mm] -sin(x+g(x))g'(x)+e^{xg(x)}x^{2})
[/mm]
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Hallo Igor1,
> Hier poste ich f'(x,g(x))
> und f''(x,g(x)).
>
> Ich verstehe jedoch nicht , warum wir das brauchen; ich bin
Das brauchst Du um die Ableitungswerte von g an der Stelle 0 zu bestimmen.
> anders bei der Aufgabe vorgegangen.
Dann erzähl uns das mal, wie Du hier vorgegangen bist.
>
> f'(x,g(x))=
> [mm](cos(x+g(x))+e^{xg(x)}(g(x)+xg'(x)),[/mm] cos(x+g(x))g'(x)
> [mm]+e^{xg(x)}x)[/mm]
>
Nun, f'(x,g(x)) ist hier ein Skalar, demnach:
[mm]f'\left(x, \ g\left(x\right) \ \right)=cos(x+g(x))+e^{xg(x)}(g(x)+xg'(x))+cos(x+g(x))g'(x) [/mm]
>
> [mm]f''(x,g(x))=(-sin(x+g(x))+e^{xg(x)}(g(x)+xg'(x))(g(x)+xg'(x))+e^{xg(x)}(g'(x)+g'(x)+xg''(x)),-sin(x+g(x))g'(x)+e^{xg(x)}x(g(x)+xg'(x))+e^{xg(x)}[/mm]
> ----------------------------unten zweite Zeile der
> Matrix------------------------------
>
> [mm]-sin(x+g(x))g^{2}'(x)+cos(x+g(x))g''(x)+e^{xg(x)}(g(x)+xg'(x))x+e^{xg(x)},[/mm]
> [mm]-sin(x+g(x))g'(x)+e^{xg(x)}x^{2})[/mm]
Auch hier f''(x,g(x)) ist ein Skalar.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 So 04.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
Für die Teilaufgabe b) habe ich g'(x) mit der Formel
g'( ksi [mm] )=-\bruch{\partial f}{\partial y}(ksi, \eta))^{-1}*
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}( [/mm] ksi, [mm] \eta) [/mm] (Formel aus Harro Heuser 2) berechnet und dann das Resultat nochmal abgeleitet.
Für die Teilaufgabe c) benötigt man g . Also wollte ich g' integrieren...
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Hallo Igor1,
> Für die Teilaufgabe b) habe ich g'(x) mit der Formel
> g'( ksi [mm])=-\bruch{\partial f}{\partial y}(ksi, \eta))^{-1}*[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}([/mm] ksi, [mm]\eta)[/mm] (Formel aus
> Harro Heuser 2) berechnet und dann das Resultat nochmal
> abgeleitet.
Ok, so kannst das natürlich auch machen.
Für das nochmalige Ableiten nach x beachte,
daß g bzw. y von x abhängig ist.
Die Formel für die Ableitung nach x kommt zustande, wenn Du
[mm]f\left(\ x, g\left(x\right) \ \right)=0[/mm]
nach x differenzierst.
>
> Für die Teilaufgabe c) benötigt man g . Also wollte ich
> g' integrieren...
>
>
Für die Teilaufgabe c) benötigst Du nur g(0), g'(0)
und g''(0), mehr nicht.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 So 04.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
wie kann man g(0) bestimmen, wenn man g nicht kennt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 So 04.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Igor!
> wie kann man g(0) bestimmen, wenn man g nicht kennt?
Aber du kennst g(0)! Nach Voraussetzung sollst du den Satz von der impliziten Funktion auf $f(x,y)=0$ in einer Umgebung des Punktes $(0,0)$ anwenden, also ist $g(0)=0$.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 So 04.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
bei b) ist also zu zeigen, dass für x aus einer Umgebung(einem Intervall) von 0 g zweimal stetig differenzierbar ist.
Wenn ich die Formel zum Bestimmen von g' benutze, was soll ich für ksi und eta einsetzen? Ich dachte so:
da mandie Existenz der Ableitung von g in einer Umgebung von 0 prüfen möchte, dann setzte man für ksi Iksen , die in der Umgebung von 0 liegen. Also g'(x) =...
Was soll man für eta setzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 So 04.07.2010 | | Autor: | Igor1 |
[mm] \eta [/mm] ist g(x), denke ich . Dann verstehe ich jetzt warum man f'(x,g(x)) bilden soll. Weil dieser Ausdruck in die Formel eingeht.
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Hallo Igor1,
> bei b) ist also zu zeigen, dass für x aus einer
> Umgebung(einem Intervall) von 0 g zweimal stetig
> differenzierbar ist.
>
> Wenn ich die Formel zum Bestimmen von g' benutze, was soll
> ich für ksi und eta einsetzen? Ich dachte so:
> da mandie Existenz der Ableitung von g in einer Umgebung
> von 0 prüfen möchte, dann setzte man für ksi Iksen ,
> die in der Umgebung von 0 liegen. Also g'(x) =...
> Was soll man für eta setzen?
Nun, für [mm]\eta[/mm] setzt Du [mm]g\left(x\right)[/mm] ein.
Gruss
MathePower
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Sieht nicht gut aus ...