Integral zwischen 2 Funktionen < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Mi 16.03.2005 | | Autor: | asgard |
Hallo habe folgende Aufgabe gestellt bekommen...leider komme ich nicht auf ein realistische Ergebnis *g*
Vielleicht könnte sich ja jemand der Aufgabe annehmen und mir eine Lösung vorschlagen
mfg
Gesucht is die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f1(x)=x²+1 und f2(x)=-x²+9 eingeschlossen wird.
Lösung sollte 64/3 sein...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo asgard,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo habe folgende Aufgabe gestellt bekommen...leider
> komme ich nicht auf ein realistische Ergebnis *g*
Was für ein Ergebnis hast Du den raus? Doch nicht etwa
[mm] $\bruch{44}{3}$? [/mm] 
> Vielleicht könnte sich ja jemand der Aufgabe annehmen und
> mir eine Lösung vorschlagen
Natürlich. Der Lösungsweg besteht aus folgenden Schritten:
1.) Bilde und löse das Integral von [mm] $f_2$ [/mm] von -2 bis 2
2.) Bilde und löse das Integral von [mm] $f_1$ [/mm] von -2 bis 2
3.) Ziehe von Flächeninhalt 1.) Flächeninhalt 2.) ab.
Mach' das mal und dann solltest Du zu deinem Wert kommen.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Mi 16.03.2005 | | Autor: | asgard |
> 1.) Bilde und löse das Integral von [mm]f_2[/mm] von -2 bis 2
> 2.) Bilde und löse das Integral von [mm]f_1[/mm] von -2 bis 2
> 3.) Ziehe von Flächeninhalt 1.) Flächeninhalt 2.) ab.
Genau das hab ich getan...*g*
Meine Teilergnisse sehen dann wie folgt aus:
[mm] 1/3*2^3+2-(-1/3*2^3+9*2)-1/3(-2)^3+(-2)-(-1/3(-2)^3+9*(-2)
[/mm]
Mein Taschenrechner sagt dann dann dummerweise 0 was auch logisch erscheint da die Terme sich jeweils aufheben...
Vielleicht siehst du ja nen fehler in dem Teilergnis und könntest mich aufklären
mfg
|
|
|
| |
|
> > 1.) Bilde und löse das Integral von [mm]f_2[/mm] von -2 bis 2
> > 2.) Bilde und löse das Integral von [mm]f_1[/mm] von -2 bis 2
> > 3.) Ziehe von Flächeninhalt 1.) Flächeninhalt 2.) ab.
>
> Genau das hab ich getan...*g*
> Meine Teilergnisse sehen dann wie folgt aus:
>
> [mm]1/3*2^3+2-(-1/3*2^3+9*2)-1/3(-2)^3+(-2)-(-1/3(-2)^3+9*(-2)
[/mm]
>
> Mein Taschenrechner sagt dann dann dummerweise 0 was auch
> logisch erscheint da die Terme sich jeweils aufheben...
Hmm, vielleicht wäre es besser gewesen die Probleme einzeln anzupacken. Anstatt eine lange Summe aufzustellen.
Zuerst berechnen wir die Fläche unter der nach oben geöffneten Parabel:
[m]\int\limits_{ - 2}^2 {\left( {x^2 + 1} \right)} dx = \left[ {\frac{{x^3 }}
{3} + x} \right]_{ - 2}^2 = \frac{8}
{3} + \frac{6}
{3} - \left( { - \frac{8}
{3} - 2} \right) = \frac{8}
{3} + \frac{6}
{3} + \frac{8}
{3} + \frac{6}
{3} = \frac{{28}}
{3}[/m]
Jetzt berechnen wir die Fläche unter der nach unten geöffneten Parabel:
[m]\begin{gathered}
\int\limits_{ - 2}^2 {\left( { - x^2 + 9} \right)} dx = \left[ { - \frac{{x^3 }}
{3} + 9x} \right]_{ - 2}^2 = - \frac{8}
{3} + 18 - \left( {\frac{8}
{3} - 18} \right) = - \frac{8}
{3} + \frac{{54}}
{3} - \frac{8}
{3} + \frac{{54}}
{3} \hfill \\
= \frac{{108}}
{3} - \frac{{16}}
{3} = \frac{{92}}
{3} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Und jetzt einfach abziehen:
[m]\frac{{92}}
{3} - \frac{{28}}
{3} = \frac{{64}}
{3}[/m]
Und wenn Du das lieber als einen ganze Term sehen willst:
[m]\left( { - \frac{8}
{3} + 18 - \left( {\frac{8}
{3} - 18} \right)} \right) - \left( {\frac{8}
{3} + \frac{6}
{3} - \left( { - \frac{8}
{3} - 2} \right)} \right)[/m]
Was Du hingegen berechnet hast, war wohl folgendes:
[m]2\int\limits_2^3 {\left( { - x^2 + 9} \right)} dx = \frac{{16}}
{3}[/m]
Viele Grüße
Karl
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Mi 16.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Asgard!
Die Antwort / der Lösungsweg von Karl_Pech ist mit etwas Vorsicht zu genießen, da sie auch zu falschen Ergebnissen führen kann (in unserem Falle aber nicht) ...
Stichwort: Nullstellen von einer der beiden Funktionen innerhalb des Integrationsintervalles.
Die allgemeine Formel zur Bestimmung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven lautet:
$A \ = \ [mm] \left| \ \integral_{x_{s1}}^{x_{s2}} {f(x) - g(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
In unserem Fall vereinfacht sich die Geschichte aus Symmetriegründen zu:
$A \ = \ 2 * \ [mm] \left| \ \integral_{0}^{x_{s}} {f(x) - g(x) \ dx} \ \right|$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
|
