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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
| Aufgabe | Berechnen Sie das folgende Integral:
[mm] $\integral_{0}^{1} \bruch{\wurzel{x} + x^{1+ \bruch{1}{6}} }{ x^{ \bruch{1}{3}}} [/mm] dx$ |
Mein Problem ist, dass die Funktion doch gar nicht für 0 definiert ist, deswegen könnte ich doch das Integral gar nicht von da bestimmen. Oder?
(Wenn ich das außer acht lasse und es doch tue, komme ich auf [mm] \bruch{108}{77}. [/mm] )
Vielen Dank schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Tequila |
hallo
dein ergebnis ist richtig !
du integrierst ja erst und setzt dann ein
wenn man das unbestimmte integal machen würde käme ja zB
7/6 2/3
6·x ·(7·x + 11)
77
raus
(glaub ich zumindest habs eben auf die schnelle gemacht)
da ist ja kein x mehr im nenner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
Ja mein Ergebnis ist schon richtig, wenn man einfach alles ausrechnet. Aber wenn man sich die Funktion zeichnet bzw. einfach anschaut, dann sieht man doch, dass im Nenner 0^ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] stehen würde und irgendwas durch 0 ist ja nicht definiert. Deswegen müsste die Funktion an der Stelle x=0 auch nicht definiert sein und deswegen kann man dort doch auch kein Integral ansetzen.
Oder liege ich damit falsch?
Vielen Dank noch einmal im Vorraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jette!
Du hast Recht: die zu integrierende Funktion ist für [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht definiert. Allerdings lässt sich dieses sogenannte "uneigentliche Integral" dennoch über eine Grenzwertbetrachtung lösen. Das ist formell der sauberste Weg.
[mm] $\integral_{0}^{1}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow 0+}\integral_{A}^{1}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow 0+}\left[ \ F(x) \ \right]_{A}^{1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow 0+}\left[ \ F(1)-F(A) \ \right] [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
@Loddar:
Also muss ich am Ende stehen haben: [mm] \bruch{108}{77} [/mm] + [mm] \bruch{6}{7} *A^\bruch{7}{6} [/mm] + [mm] \bruch{6}{11} *A^\bruch{11}{6} [/mm] ?? oder kann ich das mit dem A dann weglassen?
Danke dir! ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jette!
Ergänzend zu leduart's Antwort ... aber bleiben wir nun bei der Grenzwertbetrachtung ...
> Also muss ich am Ende stehen haben: [mm]\bruch{108}{77}[/mm] + [mm]\bruch{6}{7} *A^\bruch{7}{6}[/mm] + [mm]\bruch{6}{11} *A^\bruch{11}{6}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nicht ganz, aufpassen mit den Vorzeichen!
[mm] $\limes_{A\rightarrow 0+}\left[\bruch{108}{77} \ \red{-} \ \bruch{6}{7} *A^\bruch{7}{6} \ \red{-} \ \bruch{6}{11} *A^\bruch{11}{6}\right]$
[/mm]
> ?? oder kann ich das mit dem A dann weglassen?
Und nun im nächsten Schritt kannst Du für $A_$ den Wert $0_$ einsetzen und erhältst als Endergebnis [mm] $\bruch{108}{77} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.403$ .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Sa 28.01.2006 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo jette
> $\integral_{0}^{1}{( \wurzel{x}+ x^{1+ \bruch{1}{6}}} ) /x^{ \bruch{1}{3}} dx}$
> Mein Problem ist, dass die Funktion doch gar nicht für 0
> definiert ist, deswegen könnte ich doch das Integral gar
> nicht von da bestimmen. Oder?
Wenn da so dasteht, hast du recht. aber für alle x\ne0 kannst du den Bruch ja einfach kürzen:
$ (\wurzel{x} + x^{1+ \bruch{1}{6}} ) / x^{ \bruch{1}{3}}=x^{ \bruch{1}{6}}+x^{ \bruch{5}{6}}$
Dann kannst du in x=0 stetig ergänzen durch f(x)=0. Wenn eine Fkt. nur an einer Stelle eine hebbare Unstetigkeit hat, oder ne Unstetigkeit, die nicht \infty ist kann man sie integrieren.
(Ich glaub, das ist besser, als erst Integral und dann Grenzwert. Wenn du das Integral als GW von Summen kennst ist das auch klar)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
Ich habe ja gekürzt, bedeutet das also, dass ich von der gekürzten Version das Integral von 0 bis 1 dann machen kann, ganz normal oder wie?
Ich blick bei deiner Ausführung hier nicht durch, ob das geht...
Vielen vielen Dank!
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Hi, Jette,
es handelt sich hierbei um ein sog. "uneigentliches" Integral.
Das besondere daran ist, dass ein endlicher Flächeninhalt herauskommt, obwohl die Integrandenfunktion eine Nenner-Nullstelle, also eine Definitionslücke (in Deinem Fall x=0), aufweist.
Es gibt uneigentliche Integrale, bei denen eine (oder sogar beide) Integrationsgrenze(n) [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] sind, es gibt auch solche, bei denen die Integrandenfunktion Polstellen aufweist.
In Deinem Fall liegt eine steig behebbare Definitionslücke vor; dennoch würde ich bei der Berechnung auf den Grenzwert nicht verzichten!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
Hi,
ihr macht mich noch alle jäckisch...
also ich kann die Funktion einfach kürzen und dann berechne ich das Integral mit dem Grenzwert trotzdem, also das am Ende etwas mit A^... auch stehen bleibt!?
Ja oder nein? ;)
Danke!!!!!!!!!!!!!!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
Sorry, dass ich schon wieder nerve, aber wo fliegt das A dann raus? Erst beim Einsetzen von 1 und A in die Stammfunktion oder danach, davor...?
Und schon wieder danke... muss das ja auch irgendwie ordentlich aufschreiben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:11 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jette!
Sieh doch mal in dieser Antwort ...
[mm] $\limes_{A\rightarrow 0+}\left[\bruch{108}{77} - \bruch{6}{7}*A^\bruch{7}{6}-\bruch{6}{11}*A^\bruch{11}{6}\right] [/mm] \ = \ [mm] \bruch{108}{77} [/mm] - [mm] \bruch{6}{7}*\red{0}^\bruch{7}{6}-\bruch{6}{11}*\red{0}^\bruch{11}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{108}{77} [/mm] -0-0 \ = \ [mm] \bruch{108}{77}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Jette87 |
Ok danke. Das hatte ich nicht gesehen, hattest du wohl danach noch geändert.
Jetzt ist alles klar, schwere Geburt wieder mal, aber immerhin.
Ich bin die (euch) sehr dankbar!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau!
