Integralberechnung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Mi 26.07.2006 | | Autor: | DAB268 |
| Aufgabe | | Berechnen sie [mm] \bruch{1}{\Pi} \integral_{-\Pi}^{\Pi}{x\sin nx dx}. [/mm] |
Hallo.
Was kommt bei dieser Aufgabe raus? Ich persönlich würde 0 sagen, da
[mm] \bruch{1}{\Pi} \integral_{-\Pi}^{\Pi}{x\sin nx dx}=\bruch{1}{\Pi}(\bruch{1}{2}x^2\sin nx|_{-\Pi}^{\Pi}-\integral_{-\Pi}^{\Pi}{1\cos nx dx})=\bruch{1}{\Pi}(\bruch{1}{2}x^2\sin nx|_{-\Pi}^{\Pi}-\sin nx|_{-\Pi}^{\Pi})=0
[/mm]
Leider stimmt diese Lösung nciht mit der meines Profs überein, aber Zwischenscritte sind keine angegeben, deswegen wollte ich gerne nochmal nachfragen, was ich evtl. falsch gemacht habe.
MfG
DAB268
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:20 Mi 26.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
[mm] $\integral_{-\Pi}^{\Pi}{x\cos nx dx}$ [/mm] musst du auch nochmal partiell integrieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mi 26.07.2006 | | Autor: | DAB268 |
War ein Schreibfehler. Im Integral steht [mm] $1\cos [/mm] nx$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo DAB!
Setze bei der partiellen Integration genau andersrum an:
$u \ = \ x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 1$
$v' \ = \ [mm] \sin(n*x)$ $\Rightarrow$ [/mm] $v \ = \ [mm] -\bruch{1}{n}*\cos(n*x)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Mi 26.07.2006 | | Autor: | DAB268 |
Ich habe die Integration doch so rum gemacht. Hatte nur eben noch einen Schriebfehler im letzten Integral. Ist jetzt berichtigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo DAB!
Wenn Du so gerechnet hast, wie von mir vorgeschlagen ... Wo kommt denn dann das [mm] $x^{\red{2}}$ [/mm] her?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:46 Mi 26.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dab
Du wolltest wohl u=x ,v'=sinx
hast dich dann aber vertan, denn dann ist u*v=-xcosx und u'v=-cosx.
Ausserdem skizzier mal die Kurve, dann siehst du, dass sie zwischen deinen Grenzen ueberall positiv ist, wegen x ungerade, sinx ungerade, x*sinx gerade!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Mi 26.07.2006 | | Autor: | DAB268 |
Ok, du hast recht, wollte, aber hab nicht.
Jetzt ist das ergebnis bei mir jedoch -2, was ja definitiv auch nicht stimmen kann. Wenn jemand den Rechenweg mal posten könnte, wäre ich demjenigen sehr verbunden.
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Hallo DAB268,
> Ok, du hast recht, wollte, aber hab nicht.
> Jetzt ist das ergebnis bei mir jedoch -2, was ja definitiv
> auch nicht stimmen kann. Wenn jemand den Rechenweg mal
> posten könnte, wäre ich demjenigen sehr verbunden.
Also mein Rechenweg ist letztlich wohl auch deine partielle Integration nur "vom Ende her aufgerollt". Du hast also das Integral
[mm]\int{x\sin(nx)\,\mathrm{d}x}[/mm]
zu berechnen. Nun weißt du ja, daß [mm]\sin' x = \cos x[/mm] und [mm]\cos' x = -\sin x[/mm] gilt. Zusammen mit dem Hauptsatz der Integral- & Differentialrechnung, wonach jede Differentiation eine Umkehrung einer Integration ist, hat man damit genug Informationen, um das zu lösen. Es gilt dann nämlich:
[mm]\frac{\partial}{\partial x}x\cos(nx) = \cos(nx) - nx\sin(nx)[/mm]
[mm]\gdw x\cos(nx) = \int{\cos(nx)\,\mathrm{d}x} - n\int{x\sin(nx)\,\mathrm{d}x}[/mm]
Jetzt hast du dein ursprüngliches Problem auf das Problem das Integral
[mm]\int{\cos(nx)\,\mathrm{d}x}[/mm]
auf eine geschlossene Form zu bringen reduziert. Hier gilt jedoch auch [mm]\tfrac{\partial}{\partial x}\sin(nx) = n\cos{nx}[/mm]. Damit müßtest du dein ursprüngliches Integral nun lösen können. Setze dann deine Integrationsgrenzen ein; Ich erhalte als Lösung [mm]\tfrac{2\pi}{n}[/mm].
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mi 26.07.2006 | | Autor: | DAB268 |
Ok, mit deiner Lösung haben wir jetzt noch einmal eine andere Lösung, die aber auch ungleich mit der meines Profs ist.
Ich poste hier jetzt einfach mal seine Folien. Sind diese dann evtl. falsch?
Speziell geht es hieum Folie 20 auf Seite 5.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mi 26.07.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Dab
Karls Loesung, und mein Ansatz geben genau die Loesung deines Profs. Du hast die 2 Teile von Karl wohl nicht zusammengesetzt.
also Karls Loesung, oder die richtige part. Integration. Schreib du doch deinen Loesungsweg und nicht einfach das Ergebnis, dann suchen wir vielleicht den Fehler.
Gruss leduart
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