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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Kirill |
| Aufgabe | Zu berechnen ist
[mm] $\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^3}$ [/mm] indem man [mm] $\frac{dz}{1+z^3}$ [/mm] über den Rand des Kreissektors [mm] $A_{R}:=\left\{re^{it}: 0\leq r\leq R, 0\leq t\leq \frac{2}{3}\pi\right\}, R\rightarrow\infty$ [/mm] integriert. |
Mein Ansatz für die Integration war
[mm] $0=\int_{0}^{R}\frac{dx}{1+x^3} [/mm] - [mm] \int_{0}^{R e^{\frac{2\pi i}{3}}}\frac{dz}{1+z^3} +\int_{\gamma_{R}}\frac{dz}{1+z^3}$
[/mm]
Allerdings komme ich dabei nicht weiter, da meine Abschätzung von [mm] $\int_{\gamma_{R}}\frac{dz}{1+z^3}\to [/mm] 0$ ergibt und demnach müsste gelten
[mm] $\int_{0}^{R}\frac{dx}{1+x^3} [/mm] = [mm] \int_{0}^{R e^{\frac{2\pi i}{3}}}\frac{dz}{1+z^3}$
[/mm]
[mm] $z=e^{\frac{2\pi i}{3}}t, dz=e^{\frac{2\pi i}{3}}dt, 0\leq [/mm] t [mm] \leqR$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \int_{0}^{R}\frac{dx}{1+x^3} =\int_{0}^{R}\frac{e^{\frac{2\pi i}{3}}}{1+ t^3}dt=e^{\frac{2\pi i}{3}}\int_{0}^{R}\frac{dt}{1+t^3}$
[/mm]
Das macht aber irgendie kein Sinn und bringt mich nicht wirklich weiter ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Mo 28.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zu berechnen ist
> [mm]\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{1+x^3}[/mm] indem man
> [mm]\frac{dz}{1+z^3}[/mm] über den Rand des Kreissektors
> [mm]A_{R}:=\left\{re^{it}: 0\leq r\leq R, 0\leq t\leq \frac{2}{3}\pi\right\}, R\rightarrow\infty[/mm]
> integriert.
> Mein Ansatz für die Integration war
> [mm]0=\int_{0}^{R}\frac{dx}{1+x^3} - \int_{0}^{R e^{\frac{2\pi i}{3}}}\frac{dz}{1+z^3} +\int_{\gamma_{R}}\frac{dz}{1+z^3}[/mm]
Wie kommst du denn auf die linke 0? Der Integrand hat für $R>1$ einen Pol im Inneren von [mm] $A_R$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Kirill |
Hast natürlich Recht. Der Pol liegt bei [mm] e^{\bruch{i\pi}{3}} [/mm] und das Residuum von [mm] \bruch{1}{z^{3}+1} [/mm] an dieser Stelle ist [mm] -\bruch{1}{3}e^{\bruch{i\pi}{3}}
[/mm]
Hänge aber trotzdem bei dem Lösungsweg und weiß nicht wie ich auf das Ergebnis [mm] (\bruch{2\pi}{3\sqrt{3}}) [/mm] kommen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:45 Mo 28.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hast natürlich Recht. Der Pol liegt bei
> [mm]e^{\bruch{i\pi}{3}}[/mm] und das Residuum von [mm]\bruch{1}{z^{3}+1}[/mm]
> an dieser Stelle ist [mm]-\bruch{1}{3}e^{\bruch{i\pi}{3}}[/mm]
Richtig.
> Hänge aber trotzdem bei dem Lösungsweg und weiß nicht
> wie ich auf das Ergebnis [mm](\bruch{2\pi}{3\sqrt{3}})[/mm] kommen
> soll.
Du weisst doch jetzt, was du statt der 0 auf der linken Seite der Gleichung stehen hast, nämlich gerade [mm] $2\pi [/mm] i$ mal diesem Residuum.
Andererseits hast du bereits ausgerechnet, dass die rechte Seite im Grenzfall [mm] $R\to\infty$ [/mm] das gesuchte Integral mal [mm] (1-e^{2\pi i/3}) [/mm] ist.
Wo hängt's ?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Mo 28.06.2010 | | Autor: | Kirill |
Hallo Rainer,
danke für deine Hilfe.
Was du geschrieben hast, ist mir schon klar.
Ich habe es auch schon paar Mal versucht .... aber jetzt nach dem 100 Mal hat es enflich funktioniert, habe es immer nur falsch zusammengefasst ;)
Noch Mal Danke für die Hilfe!!!!
Grüße
Kirill
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