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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Berechne für b > a > 0 das Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} dx}
[/mm]
Hinweis betrachte [mm] \integral_{a}^{b}{ [...] dy} [/mm] |
Diese Aufgabe ist für keinen Übungszettel oderso, ich habe sie nur in einem Buch gefunden und nicht geschafft, und jetzt interessiert mich wie die gelöst werden kann.
Meine Idee ist, da ja im Hinweis dy steht, f(x) so zu substituieren, dass man mit den Grenzen a und b arbeiten kann. Also vllt y := [mm] e^{yx}, [/mm] weil das integriert [mm] \bruch{1}{x}e^{yx} [/mm] ist, und dann irgendwie mit a und b.
Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
Vielen Dank und Lg Loko
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> Berechne für b > a > 0 das Integral
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} dx}[/mm]
>
> Hinweis betrachte [mm]\integral_{a}^{b}{ [...] dy}[/mm]
> Diese
> Aufgabe ist für keinen Übungszettel oderso, ich habe sie
> nur in einem Buch gefunden und nicht geschafft, und jetzt
> interessiert mich wie die gelöst werden kann.
>
> Meine Idee ist, da ja im Hinweis dy steht, f(x) so zu
> substituieren, dass man mit den Grenzen a und b arbeiten
> kann. Also vllt y := [mm]e^{yx},[/mm] weil das integriert
> [mm]\bruch{1}{x}e^{yx}[/mm] ist, und dann irgendwie mit a und b.
>
> Kann mir vielleicht jemand auf die Sprünge helfen?
>
> Vielen Dank und Lg Loko
Hallo Loko,
es handelt sich hier um ein Integral, das man nicht
in geschlossener Form darstellen kann, außer man
verwendet z.B. die spezielle Funktion Ei(x)
"exponentielles Integral", die zu diesem Zweck
eingeführt wurde.
![[]](/images/popup.gif) Exponential Integral
Was mit dem Hinweis genau gemeint ist, verstehe
ich nicht recht. Soll wohl das gesamte erste Integral
als Integrand des zweiten genommen werden und
das Doppelintegral in umgekehrter Reihenfolge
berechnet werden ? Kann aber genau so wohl
nicht funktionieren ...
Möglich wäre schon, dass das bestimmte Integral
sich mit einem geeigneten "Trick" berechnen
lässt, obwohl keine geschlossene Formel für die
Stammfunktion vorliegt.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Loko |
Ich hab jetzt nochmal mit den Integralen rumgespielt und Wolfram Alpha:
[mm] \integral_{0}^{ \infty}{ \bruch{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} dx} [/mm] =
[mm] \integral_{0}^{ \infty}{\integral_{a}^{b}{e^{-yx} dy} dx}, [/mm] weil
[mm] \integral_{a}^{b}{e^{-yx} dy} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{x} e^{-bx}+ \bruch{1}{x} e^{-ax}, [/mm] also gerade f(x).
Weil diese Funktionen alle integrierbar sind darf man Fubini-Tonelli-Tandem anwenden und die Integrale vertauschen:
[mm] \integral_{a}^{b}{ \integral_{0}^{\infty}{e^{-yx} dx} dy}
[/mm]
Das innere Integral hab ich jetzt mal bei Wolfram Alfa reingeworfen, und der sagt das ergibt [mm] \bruch{1}{y}, [/mm] sofern y > 0...,
dadurch ergibt sich dann [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y} dx} [/mm] = log(b)-log(a) = [mm] log(\bruch{b}{a})
[/mm]
oder? lg und danke :) loko
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> Ich hab jetzt nochmal mit den Integralen rumgespielt und
> Wolfram Alpha:
>
> [mm]\integral_{0}^{ \infty}{ \bruch{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{ \infty}{\integral_{a}^{b}{e^{-yx} dy} dx},[/mm]
> weil
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-yx} dy}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{x} e^{-bx}+ \bruch{1}{x} e^{-ax},[/mm]
> also gerade f(x).
>
> Weil diese Funktionen alle integrierbar sind darf man
> Fubini-Tonelli-Tandem anwenden und die Integrale
> vertauschen:
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \integral_{0}^{\infty}{e^{-yx} dx} dy}[/mm]
>
> Das innere Integral hab ich jetzt mal bei Wolfram Alfa
> reingeworfen, und der sagt das ergibt [mm]\bruch{1}{y},[/mm] sofern
> y > 0...,
> dadurch ergibt sich dann [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y} dx}[/mm]
> = log(b)-log(a) = [mm]log(\bruch{b}{a})[/mm]
>
> oder? lg und danke :) loko
Leider verstehe ich nicht, wie du hier genau die
Substitution mit dem y gemacht hast.
Kannst du das noch genau erklären ?
LG
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Hallo Loko,
netter Trick. 
> Ich hab jetzt nochmal mit den Integralen rumgespielt und
> Wolfram Alpha:
>
> [mm]\integral_{0}^{ \infty}{ \bruch{e^{-ax}-e^{-bx}}{x} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{ \infty}{\integral_{a}^{b}{e^{-yx} dy} dx},[/mm]
> weil
> [mm]\integral_{a}^{b}{e^{-yx} dy}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{x} e^{-bx}+ \bruch{1}{x} e^{-ax},[/mm]
> also gerade f(x).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das ist eine hübsche Idee.
> Weil diese Funktionen alle integrierbar sind darf man
> Fubini-Tonelli-Tandem anwenden und die Integrale
> vertauschen:
> [mm]\integral_{a}^{b}{ \integral_{0}^{\infty}{e^{-yx} dx} dy}[/mm]
Ja, auch ok.
> Das innere Integral hab ich jetzt mal bei Wolfram Alfa
> reingeworfen, und der sagt das ergibt [mm]\bruch{1}{y},[/mm] sofern
> y > 0...,
Nana, wer solche Kunstgriffe wie oben beherrscht, braucht für das innere Integral doch Wolfram Alpha nicht mehr. Das geht doch nun wirklich zu Fuß schneller, als man es eingibt.
> dadurch ergibt sich dann [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{y} dx}[/mm]
> = log(b)-log(a) = [mm]log(\bruch{b}{a})[/mm]
Ich mag die Schreibweise "log" nicht, sondern bevorzuge nach wie vor "ln". Ansonsten: richtig!
> oder? lg und danke :) loko
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:07 Di 22.03.2011 | | Autor: | Loko |
Wenn auch sehr spät wollte ich doch nochmal Danke sagen für die Antworten :)
Zum Glück hatte ich mich noch an die Aufgabe gesetzt, genau die kam in der Klausur ran!
Also vielen Dank und Liebe Grüße
Loko
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