Integralbestimmung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 So 11.01.2009 | | Autor: | Jimpanse |
Hallo miteinander!
Ich habe ein mittelgroßes Problem, da mir für die gestellten Aufgaben keine konkreten Lösungen im Kopf herumschwirren, sondern nur bloße Ahnungen. Die Aufgaben lauten:
a) [mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|x|}}}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st} cos wt dt}, [/mm] wobei s>0, s und w(omega) sind konstant
c) [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st} sin wt dt}, [/mm] wobei s>0, s und w(omega) sind konstant
zu meinen Ideen:
a) würde ich durch einfache Umformung bestimmen: die Wurzel in Exponentenform darstellen, das dx durch eine 1 ersetzen (das dx hinten anhängen), dann den bruch auflösen, durch das negativ setzen des Exponenten und dann einfach integrieren. Beim versuchen hat mich aber das |x| gestört, also der Betrag.
b) hier habe ich die partielle Integration versucht:
u(x):= [mm] e^{-st} [/mm] und v'(x):=cos wt
durch die Anwendung bin ich dann auf folgendes Ergebnis gekommen:
[mm] e^{-st} [/mm] cos wt - [mm] [\bruch{1}{t} e^{-st} [/mm] - [mm] \bruch{1}{t} [/mm] sin wt + C]
c) würde ich fast analog berechnen, nur das v'(x):= sin wt ist.
ich bin mir allerdings total unsicher, da dies Neuland für mich darstellt und ich erst im Nachhinein gemerkt habe, wie blöd mein Mathe GK war.
Ich bin dankbar für jeden Hinweis!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jimpanse,
> Man berechne
> Hallo miteinander!
>
> Ich habe ein mittelgroßes Problem, da mir für die
> gestellten Aufgaben keine konkreten Lösungen im Kopf
> herumschwirren, sondern nur bloße Ahnungen. Die Aufgaben
> lauten:
>
> a) [mm]\integral_{-1}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|x|}}}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-st} cos wt dt},[/mm] wobei s>0,
> s und w(omega) sind konstant
>
> c) [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-st} sin wt dt},[/mm] wobei s>0,
> s und w(omega) sind konstant
>
>
> zu meinen Ideen:
>
> a) würde ich durch einfache Umformung bestimmen: die Wurzel
> in Exponentenform darstellen, das dx durch eine 1 ersetzen
> (das dx hinten anhängen), dann den bruch auflösen, durch
> das negativ setzen des Exponenten und dann einfach
> integrieren. Beim versuchen hat mich aber das |x| gestört,
> also der Betrag.
Teile das Integral auf in [mm] $\int\limits_{-1}^{0}{\bruch{dx}{\wurzel{|x|}}} [/mm] \ + \ [mm] \int\limits_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|x|}}}$
[/mm]
Nun wirst du den Betrag los, benutze für die jeweiligen Intervalle die Definition des Betrages
>
> b) hier habe ich die partielle Integration versucht: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm] $u(\red{t}):=e^{-st}$ [/mm] und [mm] $v'(\red{t}):=cos(wt)$ [/mm]
>
> durch die Anwendung bin ich dann auf folgendes Ergebnis
> gekommen:
>
> [mm] $e^{-st}\cos(wt)-\left[\bruch{1}{t}e^{-st}-\bruch{1}{t}\sin(wt)+C\right]$
[/mm]
Hmm, ich komme auf etwas ganz anderes, rechne am besten mal vor, wie du es gerechnet hast.
Ich fürchte, du musst hier 2mal partiell integrieren, nach dem ersten mal bleibt ein Integral mit [mm] $e^{-st}\sin(wt)$, [/mm] das nochmal partiell verarzten, dann hast du wieder dein Ausgangsintegral [mm] $A\cdot{}\int{e^{-st}\cos(wt) \ dt}$
[/mm]
Dann kannst du nach dem Integral [mm] $\int{e^{-st}\cos(wt) \ dt}$ [/mm] umstellen ...
Bedenke, dass [mm] $v(t)=\frac{1}{w}\cdot{}\sin(wt)$ [/mm] ist
>
> c) würde ich fast analog berechnen, nur das v'(x):= sin wt
> ist.
Ja, das dürfte analog gehen, hab's aber nicht nachgerechnet, wieder 2mal partiell integrieren, beim ersten Mal wird das [mm] $\sin$-Biest [/mm] zum [mm] $\cos$, [/mm] beim 2.Mal wieder zum [mm] $\cos$, [/mm] dann wieder umstellen nach dem Integral...
>
> ich bin mir allerdings total unsicher, da dies Neuland für
> mich darstellt und ich erst im Nachhinein gemerkt habe, wie
> blöd mein Mathe GK war.
> Ich bin dankbar für jeden Hinweis!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 So 11.01.2009 | | Autor: | Jimpanse |
[mm] \integral_{-1}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|x|}}} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{dx}{\wurzel{|x|}}} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|x|}}} [/mm] = [mm] \begin{cases} x, & \mbox{für } x \mbox{ = 1} \\ -x, & \mbox{für } -x \mbox{ = -1} \end{cases} [/mm] = [2x+C] (Integralgrenzen -1 & 0) + [2x + C] (Integralgrenzen 0 & 1) = 2 + 2 = 4
Bilden der Stammfunktion:
[mm] \bruch{dx}{\wurzel{|x|}} [/mm] dx = [mm] \bruch{dx}{x^\bruch{1}{2}} [/mm] dx = [mm] x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] dx = 2x + C
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 So 11.01.2009 | | Autor: | Jimpanse |
zu Aufgabe b)
ich habs nochmal neu gerechnet und zweimal partiell integriert:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st} cos (wt) dx} [/mm]
u(t):= [mm] e^{-st} [/mm] ; u'(t):= [mm] -e^{-st}
[/mm]
v'(t):= cos (wt) ; v(t):= sin (wt)
daraus folgt:
[mm] e^{-st} [/mm] cos (wt) - [mm] \integral_{0}^{\infty}{-e^{-st} sin (wt) dx} [/mm]
wenn ich dann nochmals partiell integriere:
u(t):= [mm] -e^{-st} [/mm] ; u'(t):= [mm] e^{-st}
[/mm]
v'(t):= sin (wt) ; v(t):= -cos (wt)
daraus ergibt sich:
[mm] (e^{-st} [/mm] cos (wt)) [mm] (-e^{-st} [/mm] - cos (wt)) - [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st} (- cos (wt))dx}
[/mm]
-->
[mm] (e^{-st} [/mm] cos (wt)) [mm] (-e^{-st} [/mm] - cos (wt)) + [mm] \integral_{0}^{\infty}{e^{-st} cos (wt) dx}
[/mm]
ich hab auch den Fehler aus einer ersten Rechnung gefunden, da habe ich irgendwie (warum auch immer) die Summenregel im Integral angewendet.
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Hallo nochmal,
> zu Aufgabe b)
>
> ich habs nochmal neu gerechnet und zweimal partiell
> integriert:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-st} cos (wt) dx}[/mm]
>
> u(t):= [mm]e^{-st}[/mm] ; u'(t):= [mm]-e^{-st}[/mm]
> v'(t):= cos (wt) ; v(t):= sin (wt) ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
genauer lesen, was die Antwortgeber schreiben oder genauer rechnen !
Wenn $v(t)$ wirklich [mm] $\sin(wt)$ [/mm] ist, dann ist [mm] $v'(t)=w\cos(wt)$ [/mm] Kettenregel!
Ich hatte oben schon geschrieben, dass du bedenken sollst, dass [mm] $v(t)=\frac{1}{w}\sin(wt)$ [/mm] ist
Auch $u'(t)$ solltest du nochmal überdenken, v.a. im Hinblick auf die Kettenregel!
Den Rest schaue ich jetzt nicht nach, weil schon der Anfang falsch ist, also nochmal ran 
>
> daraus folgt:
>
> [mm]e^{-st}[/mm] cos (wt) - [mm]\integral_{0}^{\infty}{-e^{-st} sin (wt) dx}[/mm]
>
> wenn ich dann nochmals partiell integriere:
>
> u(t):= [mm]-e^{-st}[/mm] ; u'(t):= [mm]e^{-st}[/mm]
> v'(t):= sin (wt) ; v(t):= -cos (wt)
>
> daraus ergibt sich:
>
> [mm](e^{-st}[/mm] cos (wt)) [mm](-e^{-st}[/mm] - cos (wt)) -
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-st} (- cos (wt))dx}[/mm]
>
> -->
> [mm](e^{-st}[/mm] cos (wt)) [mm](-e^{-st}[/mm] - cos (wt)) +
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{e^{-st} cos (wt) dx}[/mm]
>
> ich hab auch den Fehler aus einer ersten Rechnung gefunden,
> da habe ich irgendwie (warum auch immer) die Summenregel im
> Integral angewendet.
LG
schachuzuipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 So 11.01.2009 | | Autor: | Jimpanse |
oh, wer lesen kann ist klar im Vorteil. Tut mir Leid. Aber was ist mit der ersten? ist die so korrekt, oder muss ich da auch noch nacharbeiten?
vielen Dank schonmal bist hierher!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo nochmal,
> oh, wer lesen kann ist klar im Vorteil. Tut mir Leid. Aber
> was ist mit der ersten? ist die so korrekt, oder muss ich
> da auch noch nacharbeiten?
Ja, ganz gewaltig sogar, da hast du ziemlichen Murks aufgeschrieben, bessere das mal aus!
Das Ergebinis 4 stimmt aber
Aber was du davor aufgeschrieben hast, entzieht sich meinem Verständnis
Ich dachte an sowas wie $\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{|x|}} \ dx}=\int\limits_{-1}^{0}{\frac{1}{\sqrt{-x}} \ dx}+\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}} \ dx}=\int\limits_{-1}^{0}{(-x)^{-\frac{1}{2}}} \ dx}+\int\limits_{0}^{1}{x^{-\frac{1}{2}}} \ dx} \ \ ....$
>
> vielen Dank schonmal bist hierher!
LG
schachuzipus
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