Integralbestimmung Residuen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+1)^n}[/mm]
mit [mm]n \in \mathbb{N}[/mm] |
Hallo, ich habe oben angegebenes Integral zu berechnen und weiß nicht ob meine Lösung korrekt ist.
Der Ansatz mittels Residuensatz ist zunächst die Bestimmung der Pole:
[mm] (x^2+1)^n=(x+i)^n \, (x-i)^n = 0 [/mm]
[mm] \Rightarrow x_1 = i \quad x_2=-i [/mm]
[mm] x_1=i [/mm] liegt in der oberen Halbebene, somit ist das einzige zu berechnende Residuum:
[mm] res_{x_1} f = \frac{1}{(n-1)!} \, \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \, \left( (z-i)^n \cdot f(z) \right) |_{z=i} [/mm]
[mm] = \frac{1}{(n-1)!} \, \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left( (z+i)^{-n} \right)|_{z=i} [/mm]
[mm] = \frac{1}{(n-1)!} \, (-n) \, (-n-1) \, ... \, (z+i)^{-2 \, n + 1}|_{z=i} [/mm]
[mm] = \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \, n! \, (z+i)^{-2 \, n +1}|_{z=i} [/mm]
Damit haben wir das Residuum berechnet zu
[mm]res_i \, f = n \, (-1)^{n-1} \, (2i)^{-2n+1} [/mm]
Für das Integral gilt somit
[mm] \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+1)^n} = 2 \, \pi \, i \, n \, (-1)^{n-1} \, (2 \, i)^{-2 \, n +1} [/mm]
[mm]= \pi \, n \, (-1)^{n-1} \, (2 \, i)^{-2 \, n + 2} = 4^{1-n} \, \pi \, n [/mm]
Ist das korrekt? Ich kann mir irgendwie nicht vorstellen dass die Lösung so einfach sein soll...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Danke für die Antworten!
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Hier liegt der Fehler: [mm](-n)(-n-1) \cdots[/mm] ist nicht [mm]\pm n![/mm]
Der korrekte Wert des Residuums ist [mm]- 2^{1-2n} {{2n-2} \choose {n-1}} \cdot \operatorname{i}[/mm] .
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Hallo und vielen Dank für deine Antwort.
Das stimmt, da hab ich mich vertan. Scrheibt man das korrekte Residuum als
[mm] res_i f = (2 \, i) \, \pmat{ 2 \, n -2 \\ n - 1 } \, (-4)^{n} [/mm]
so erhält man also für das Integral:
[mm] I = \pi \, \pmat{ 2 \, n -2 \\ n - 1 } (-4)^{n+1} [/mm]
Stimmmt das so?
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Hallo wunderbar,
> Hallo und vielen Dank für deine Antwort.
> Das stimmt, da hab ich mich vertan. Scrheibt man das
> korrekte Residuum als
> [mm]res_i f = (2 \, i) \, \pmat{ 2 \, n -2 \\ n - 1 } \, (-4)^{n}[/mm]
Das stimmt nicht.
[mm](2 \, i) \, \pmat{ 2 \, n -2 \\ n - 1 } \, (-4)^{n} \not= -\left(2^{1-2n}\right)\pmat{2n-2 \\ n-1}i[/mm]
>
> so erhält man also für das Integral:
> [mm]I = \pi \, \pmat{ 2 \, n -2 \\ n - 1 } (-4)^{n+1}[/mm]
>
> Stimmmt das so?
Gruß
MathePower
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Hallo, Danke für die Antwort,
Ausgangspunkt ist die Gleichung
[mm] res_i f = \pmat{2n -2\\ n-1 } \, (2i)^{1-2n}[/mm]
und dafür gilt
[mm] res_i f = \pmat{2n -2\\ n-1 } \, (2i) \, \frac{1}{\left((2i)^2\right)^n} = \pmat{2n -2\\ n-1 } \, (2i) \, (-4)^{-n} [/mm]
stimmt es nun?
Danke für die Antworten
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Hallo wunderbar,
> Hallo, Danke für die Antwort,
> Ausgangspunkt ist die Gleichung
> [mm]res_i f = \pmat{2n -2\\ n-1 } \, (2i)^{1-2n}[/mm]
Laut diesem Post ist das
[mm]res_i f = \red{-}\pmat{2n -2\\ n-1 } \, (2i)^{1-2n}[/mm]
> und dafür
> gilt
> [mm]res_i f = \pmat{2n -2\\ n-1 } \, (2i) \, \frac{1}{\left((2i)^2\right)^n} = \pmat{2n -2\\ n-1 } \, (2i) \, (-4)^{-n}[/mm]
Korrekt muß es so lauten:
[mm]\pmat{2n -2\\ n-1 } \, (\red{-}2i) \, (\red{+}4)^{-n}[/mm]
>
> stimmt es nun?
> Danke für die Antworten
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 So 11.01.2009 | | Autor: | wunderbar |
ok, habe das [mm] (-1)^{n-1} [/mm] am Anfang vergessen. jetzt ist alles klar.
Ich danke ganz herzlich für die Hilfe!
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