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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Fr 21.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Es sei $f: [mm] \IR \to \IR^{+}$ [/mm] eine stetig diffbare Funktion und einen [mm] $a\le [/mm] b$ zwei reele Zahlen.
Berechnen Sie:
(a) [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{f'}{f}}
[/mm]
(b) [mm] \integral_{a}^{b}{f'*f} [/mm] |
Hallo,
also ich habe diese berechnet wollte nur wissen, ob das so richtig ist:
Zu (a):
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=\integral_{a}^{b}{f'(x)* \bruch{1}{f(x)} dx} [/mm] = (Part. Integration) =
[mm] [\bruch{f(x)}{f(x)}]-\integral_{a}^{b}{ f(x)*\bruch{-1}{f²(x)} dx} [/mm] =
[mm] [\bruch{f(x)}{f(x)}]-\integral_{a}^{b}{ \bruch{-1}{f(x)} dx}=
[/mm]
[mm] [\bruch{f(x)}{f(x)}] [/mm] + $[ln(f(x)]$ = [mm] \bruch{f(b)}{f(b)}-\bruch{f(a)}{f(a)} [/mm] + $[ln(f(x)]$ = 1-1+$[ln(f(x)]=[ln(f(x)]$
Also ist die Lösung [mm] [ln(f(x)]^{b}_a.
[/mm]
Wenn das richtig ist, muss ich hierbei noch was bedenken ?
Also Betragsstriche, oder irgendwas mit Limes, wegen des uneigentlichen Integrals ???
Zu (b):
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)'*f(x) dx} [/mm] = (Substitution u:=f(x) ) =
[mm] \integral_{a}^{b}{u'*u du} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{1 *u du} [/mm] = (Part. Integr.) = [mm] [u²]-\integral_{a}^{b}{u du}= $[u²]-[\bruch{1}{2}*u²]$ [/mm] = [mm] $[\bruch{1}{2}*u²]$ [/mm] = (Resubstitution) = [mm] [\bruch{1}{2}*f²(x)]^{b}_a
[/mm]
So das wärs.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo DeusRa!
Du machst hier immer mehrere Fehler, die sich am Ende wieder aufheben, so dass zwar die Ergebnisse stimmen ... nicht aber der Weg.
Beide Integrale werden über die Substitution $u \ := \ f(x)$ gelöst. Dabei musst Du aber auch jeweils das Differential $dx_$ durch die andere Variable $du_$ ersetzen:
$u' \ = \ [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ f(x) \ \right]' [/mm] \ = \ f'(x)$ [mm] $\gdw$ [/mm] $dx \ = \ [mm] \bruch{du}{f'(x)}$
[/mm]
> Zu (a):
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}=\integral_{a}^{b}{f'(x)* \bruch{1}{f(x)} dx}[/mm] = (Part. Integration) = [mm][\bruch{f(x)}{f(x)}]-\integral_{a}^{b}{ f(x)*\bruch{-1}{f²(x)} dx}[/mm]
Hier liegt der erste Fehler durch Weglassen der inneren Ableitung gemäß  Kettenregel :
[mm] $\left[ \ \bruch{1}{f(x)} \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ f^{-1}(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] (-1)*f^{-2}(x)*\red{f'(x)} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{f'(x)}{f^2(x)}$
[/mm]
> = [mm][\bruch{f(x)}{f(x)}]-\integral_{a}^{b}{ \bruch{-1}{f(x)} dx}=[/mm] [mm][\bruch{f(x)}{f(x)}][/mm] + [mm][ln(f(x)][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Zweiter Fehler: $\integral{\bruch{1}{f(x)} \ dx} \ \red{\not=} \ \ln|f(x)| + C$
Das gilt nur für $\integral{\bruch{1}{x} \ dx} \ = \ \ln|x| + C$
Also wie oben geschrieben: Substitution!
> Also Betragsstriche, oder irgendwas mit Limes, wegen des
> uneigentlichen Integrals ???
Welches uneigentliche Integral?
Die Betragsstriche gehören im ersten Schritt hin, können aber entfallen, da gemäß Aufgabenstellung die Funktion $f_$ abgebildet wird auf $\IR^{\red{+}$ . Es gilt also: $f(x) \ > \ 0$ $\Rightarrow$ $|f(x)| \ = \ f(x)$
> Zu (b):
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x)'*f(x) dx}[/mm] = (Substitution u:=f(x) ) = [mm]\integral_{a}^{b}{u'*u du}[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{1 *u du}[/mm] =
Wieder zwei Fehler: $dx$ wurde nicht korrekt durch $du_$ substituiert (siehe oben).
Zudem setzt Du hier plötzlich $u' \ = \ 1$ . Warum?
Gruß
Loddar
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