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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Do 04.11.2004 | | Autor: | tine |
Hallo,
ich hab da folgende Aufgabe mit der ich nicht weiter komme, wär lieb wenn mir jemand helfen könnte:
Man berechne folgende Integrale mit Ober- und Untersummen oder Riemann:
a) [mm] \integral_{0}^{a} [/mm] { [mm] x^{2} [/mm] dx} (a> 0)
b) [mm] \integral_{1}^{a} {\bruch{1}{x} dx} [/mm] (a> 1)
Wär lieb wenn mir jemand helfen könnte!
Liebe Grüße
tine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
ich nehme mal an, dass Du keine Idee zu dieser Aufgabe hast, sonst wärst du so nett gewesen, diese auch mitzuteilen, oder?
> Man berechne folgende Integrale mit Ober- und Untersummen
> oder Riemann:
> a) [mm] $\integral_{0}^{a}\{x^{2} dx\}$ [/mm] (a> 0)
> b) [mm] $\integral_{1}^{a} \{\bruch{1}{x} dx\}$ [/mm] (a> 1)
>
Nehme mal Aufgabenteil a):
Sei $I=[0,a] [mm] \in \IR$ [/mm] das Intervall, über dem integriert werden soll. Dann wähle ich eine Zerlegung dieses Intervalls - und da keine Bedingungen weiter formuliert wurden - mache ich mir das Leben nicht schwer und wähle eine äquidistante (=alle Intervalle haben die gleiche Länge) Zerlegung [mm] $Z_n$ [/mm] von $I$ mit den Stützpunkten [mm] $x_k=k\bruch{a}{n}$. [/mm] Dann ergeben sich die Ober- und Untersummen:
[mm] $\underline{S}(x^2, [/mm] I, [mm] Z_n) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}(x_k)^2\bruch{a}{n}$
[/mm]
einsetzen:
[mm] $\underline{S}(x^2, [/mm] I, [mm] Z_n) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}(k\bruch{a}{n})^2\bruch{a}{n}$
[/mm]
ausrechnen:
[mm] $\underline{S}(x^2, [/mm] I, [mm] Z_n) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k^2\bruch{a^2}{n^2}\bruch{a}{n}$
[/mm]
sortieren:
[mm] $\underline{S}(x^2, [/mm] I, [mm] Z_n) [/mm] = [mm] \bruch{a^2}{n^2}\bruch{a}{n}\summe_{k=1}^{n}k^2$
[/mm]
Nun zeigt man mit Hilfe vollständiger Induktion, dass gilt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{1}{3}n^3+\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n$
[/mm]
(diesen Schritt überlasse ich Dir, eventuell habt Ihr das schon in der Vorlesung gemacht).
Es ergibt sich also:
[mm] $\underline{S}(x^2, [/mm] I, [mm] Z_n) [/mm] = [mm] \bruch{a^3}{n^3}(\bruch{1}{3}n^3+\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n)$
[/mm]
Nun nimmt man eine Grenzwertbetrachtung vor, in dem man n gegen Unendlich schickt (die Zerlegung des Intervalls wird also immer genauer!)
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\underline{S}(x^2, [/mm] I, [mm] Z_n)$
[/mm]
[mm] $=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{a^3}{n^3}(\bruch{1}{3}n^3+\bruch{1}{2}n^2+\bruch{1}{6}n))$
[/mm]
[mm] $=\bruch{1}{3}a^3$
[/mm]
Für die Obersumme gelten die gleichen Schritte, nur das ich etwas an den Indezies basteln muss (Warum?)
[mm] $\overline{S}(x^2, [/mm] I, [mm] Z_n) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}(x_{k-1})^2\bruch{a}{n} \cdots =\summe_{k=0}^{n-1}(x_k)^2\bruch{a}{n}=\bruch{a^3}{n^3}(\bruch{1}{3}(n-1)^3+\bruch{1}{2}(n-1)^2+\bruch{1}{6}(n-1))$ [/mm]
Beide Summen haben den selben Grenzwert, demnach ist [mm] $x^2$ [/mm] integrierbar und es gilt
$ [mm] \integral_{0}^{a} {x^2 dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}x^3$
[/mm]
So, Aufgabe b) dürfte ja nun kein Problem sein  . Wenn doch, poste doch mal, wie weit Du kommst...
Gute Nacht,
Stefan
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