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Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:13 Mi 09.02.2011
Autor: Fry

Hallo zusammen,

[mm] P^X [/mm] soll die Verteilung/Bildmaß einer Zufallsvariablen X sein.
F die Verteilungsfunktion von X.
1.Frage: Warum gilt für t>0 bzw gilt dann wirklich (hab ich in ner Seminarausarbeitung gefunden)

[mm] \int e^{tx}P^{X}(dx)=\int e^{tx} [/mm] F(dx)

Gilt generell: [mm] \int [/mm] g(x) [mm] P^{X}(dx)=\int [/mm] g(x) F(dx) ?

2.Frage:
Es sei P(X<0)=1
Warum folgt dann, dass
[mm] \int x*e^{tx} P^{X}(dx)<0 [/mm] ?
(Hab gedacht, dass man dann gilt [mm] x*e^{tx}<0 [/mm]  und das dann daraus folgt. Wie würde man das schön formal begründen/aufschreiben?)


Viele Grüße
Fry


        
Bezug
Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Mi 09.02.2011
Autor: gfm


> Hallo zusammen,
>  
> [mm]P^X[/mm] soll die Verteilung/Bildmaß einer Zufallsvariablen X
> sein.
>  F die Verteilungsfunktion von X.
>  1.Frage: Warum gilt für t>0 bzw gilt dann wirklich (hab
> ich in ner Seminarausarbeitung gefunden)
>  
> [mm]\int e^{tx}P^{X}(dx)=\int e^{tx}[/mm] [mm] F_X(dx) [/mm]
>  
> Gilt generell: [mm]\int[/mm] g(x) [mm]P^{X}(dx)=\int[/mm] g(x) F(dx) ?

Per Definition gilt [mm] F_X(t):=P(\{X\le t\})=P(X^{-1}((\infty,t]))=:P^X((\infty,t]) [/mm]

Davon abgesehen ist liefert [mm] P^X((\infty,t]) [/mm] ein [mm] F_X(t) [/mm] für welches wieder [mm] P^X(A)=\integral 1_A(t)dF(t) [/mm] gilt. Das ist ein allgemeiner Zusammenhang zwischen den W-Maßen und Verteilungsfunktionen auf [mm] \IR. [/mm]

>  
> 2.Frage:
>  Es sei P(X<0)=1
>  Warum folgt dann, dass
>  [mm]\int x*e^{tx} P^{X}(dx)<0[/mm] ?
>  (Hab gedacht, dass man dann gilt [mm]x*e^{tx}<0[/mm]  und das dann
> daraus folgt. Wie würde man das schön formal
> begründen/aufschreiben?)

Ich weß nicht ob man da noch was begründen muss. Die Verteilungsfunktion [mm] F_X(t) [/mm] dieser ZV ist konstant 1 ab t=0. Weiterhin kann laut Vorraussetzung keine W-Masse in Null selber konzentriert sein, d.h. bei t=0 gibt es keinen Sprung. Somit ist F(t) für Werte t<0 von Null verschieden, sodass sich dann mit einem für t<0 echt negativem Integrandem immmer etwas kleiner Null ergibt.

LG

gfm

Bezug
                
Bezug
Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:23 Mi 09.02.2011
Autor: Fry


Hey gfm,

vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Seh ich es richtig, dass dann die 1.Gleichheit gilt, weil
[mm] P^X [/mm] dann die konstante Funktion [mm] $1_{\IR}$ [/mm] als [mm] $F_X$-Dichte [/mm] hat?

Danke nochmal.
LG
Fry


Bezug
                        
Bezug
Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Mi 09.02.2011
Autor: gfm


>
> Hey gfm,
>  
> vielen Dank für deine schnelle Antwort!
>  Seh ich es richtig, dass dann die 1.Gleichheit gilt, weil
>  [mm]P^X[/mm] dann die konstante Funktion [mm]1_{\IR}[/mm] als [mm]F_X[/mm]-Dichte
> hat?

Wenn man so will. Es ist einfach so, dass das Maß, das man mit der Verteilungsfunktion eines Maß definiert, wieder das Ausgangsmaß ergibt.

LG

gfm

Bezug
                                
Bezug
Integrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Do 10.02.2011
Autor: Fry


Ok, verstanden! Danke.
Noch ein paar Fragen.
[mm] \phi(t)=E(e^{tX})=\int e^{tx}dP^X [/mm]

1. Es gilt, falls [mm] P(X\le [/mm] 0)=1 und P(X=0)>0,
dass: [mm] lim_{t\to\infty}\phi(t)=P(X=0) [/mm]

2. Falls P(X<0)>0 und P(X>0)>0:
[mm] lim_{t\to\infty}\phi(t)=\infty [/mm]

Meine Begründung:
zu [mm] 1)\int e^{tx}dP^X=\int_{x<0}e^{tx}dP^X+\int_{x=0}e^{tx}dP^X+\int_{x>0}e^{tx}dP^X\to_{t\to\infty} [/mm] P(X=0)

da {x>0} Nullmenge ist 3.Integral =0,  und [mm] e^{tx} [/mm] für x<0 gegen 0 läuft für [mm] t\to\infty [/mm] (1.Integral) Hab dort den Satz von der monotonen Konvergenz angewendet.

2. In diesem Fall läuft das 3.Integral gegen [mm] \infty, [/mm] das 1. gegen 0.

Stimmt die Begründung oder sieht man das sofort?

LG
Fry



Bezug
                                        
Bezug
Integrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Di 15.02.2011
Autor: gfm


>
> Ok, verstanden! Danke.
>  Noch ein paar Fragen.
>  [mm]\phi(t)=E(e^{tX})=\int e^{tx}dP^X[/mm]
>  
> 1. Es gilt, falls [mm]P(X\le[/mm] 0)=1 und P(X=0)>0,
>  dass: [mm]lim_{t\to\infty}\phi(t)=P(X=0)[/mm]
>  
> 2. Falls P(X<0)>0 und P(X>0)>0:
>  [mm]lim_{t\to\infty}\phi(t)=\infty[/mm]
>  
> Meine Begründung:
>  zu [mm]1)\int e^{tx}dP^X=\int_{x<0}e^{tx}dP^X+\int_{x=0}e^{tx}dP^X+\int_{x>0}e^{tx}dP^X\to_{t\to\infty}[/mm]
> P(X=0)
>  
> da {x>0} Nullmenge ist 3.Integral =0,  und [mm]e^{tx}[/mm] für x<0
> gegen 0 läuft für [mm]t\to\infty[/mm] (1.Integral) Hab dort den
> Satz von der monotonen Konvergenz angewendet.

Nicht der Satz von der majorisierten Konvergenz?

>  
> 2. In diesem Fall läuft das 3.Integral gegen [mm]\infty,[/mm] das
> 1. gegen 0.
>  
> Stimmt die Begründung oder sieht man das sofort?
>  
> LG
>  Fry
>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Integrale: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:42 Mo 21.02.2011
Autor: Fry

Warum denn?
Sind die Voraussetzungen nicht erfüllt?
positive messbare Funktionenfolge mit ex. Limes..?

VG
Fry



Bezug
                                                        
Bezug
Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:57 Mo 21.02.2011
Autor: gfm


> Warum denn?
>  Sind die Voraussetzungen nicht erfüllt?
>  positive messbare Funktionenfolge mit ex. Limes..?
>  
> VG
>  Fry

Für welches Integral hast Du den Satz von der monotonen Konvergenz verwendet?

LG

gfm


Bezug
                                                                
Bezug
Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:13 Di 22.02.2011
Autor: Fry

Ah! verstehe,
beim Integral [mm] $\int e^{tx}*1_{\{x<0\}}dP^X$ [/mm] ist die Funktionenfolge nicht aufsteigend. Da kann ich dann den Satz von der majorisierten Konvergenz verwenden, da [mm] $|e^{tx}*1_{\{x<0\}}|<1$ [/mm] für alle $t$ und $x$
und [mm] $\int dP^X=1<\infty$ [/mm]

Beim dritten Integral lässt sich dann der Satz von der monotonen Konvergenz anwenden.

Oder?


Bezug
                                                                        
Bezug
Integrale: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:51 Di 22.02.2011
Autor: gfm


> Ah! verstehe,
>  beim Integral [mm]\int e^{tx}*1_{\{x<0\}}dP^X[/mm] ist die
> Funktionenfolge nicht aufsteigend. Da kann ich dann den
> Satz von der majorisierten Konvergenz verwenden, da
> [mm]|e^{tx}*1_{\{x<0\}}|<1[/mm] für alle [mm]t[/mm] und [mm]x[/mm]
>  und [mm]\int dP^X=1<\infty[/mm]
>  
> Beim dritten Integral lässt sich dann der Satz von der
> monotonen Konvergenz anwenden.
>  
> Oder?

Ich denke schon.

LG

gfm

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